一道使用Fibonnaci数列通项公式的趣味题目
求
[sum_{i=0}^n{nchoose i}f_i
]
其中(f_i)表示Fibonnaci数列（(f_0=0, f_1=1, f_n=f_{n-1}+f_{n-2})）第n项。
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当时下面很多神仙都纷纷表达了自己的观点，什么矩阵快速幂、卷积。。。
结果老师讲正解，上来就用Fibonnaci数列通项公式。
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Fibonnaci数列通项公式它长这样：
[f_i=frac{1}{sqrt5}left[left(frac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-left(frac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]
]
简单推一下式子：
[egin{aligned}
sum_{i=0}^n{nchoose i}f_i&=sum_{i=0}^n{nchoose i}frac{1}{sqrt5}left[left(frac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-left(frac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]\
&=frac{1}{sqrt5}left[sum_{i=0}^n{nchoose i}left(frac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-sum_{i=0}^n{nchoose i}left(frac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]\
&=frac{1}{sqrt5}left[sum_{i=0}^n{nchoose i}1^{n-i}left(frac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-sum_{i=0}^n{nchoose i}1^{n-i}left(frac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]\
&=frac{1}{sqrt5}left[left(1+frac{1+sqrt5}{2}
ight)^n-left(1+frac{1-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]\
&=frac{1}{sqrt5}left[left(frac{3+sqrt5}{2}
ight)^n-left(frac{3-sqrt5}{2}
ight)^n
ight]\
&=frac{1}{sqrt5}left[left(frac{1+sqrt5}{2}
ight)^{2n}-left(frac{1-sqrt5}{2}
ight)^{2n}
ight]\
&=f_{2n}
end{aligned}
]
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