【BZOJ】4318: OSU!【期望DP】

4318: OSU!

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Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

 

 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

 

 

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

 

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】 

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0 

N<=100000

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Solution

期望DP，稍微推一下式子就行了（像我这样期望废的都能想出来！！）

设当前最长后缀1的长度为$x+1$，期望得分由上一位长度为$x$转移过来，增加的值有$3x^2+3x+1$，所以维护$x^2$和$x$的期望值就可以了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double x[100005], x2[100005], dp[1000005], a[100005];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    scanf("%lf", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        x[i] = (x[i-1] + 1) * a[i];
        x2[i] = (x2[i-1] + 2 * x[i-1] + 1) * a[i];
        dp[i] = dp[i-1] + (3 * x2[i-1] + 3 * x[i-1] + 1) * a[i];
    }
    printf("%0.1lf", dp[n]);
    return 0;
}