约瑟夫环问题小结

一 问题描述

约瑟夫环问题的基本描述如下：已知n个人(以编号1，2，3...n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为1的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，要求找到最后一个出列的人或者模拟这个过程。

二 问题解法

在解决这个问题之前，首先我们对人物进行虚拟编号，即相当于从0开始把人物重新进行编号，即用0,1,2,3,...n-1来表示人物的编号，最后返回的编号结果加上1，就是原问题的解(为什么这么做呢，下文有解释)。而关于该问题的解通常有两种方法：

1.利用循环链表或者数组来模拟整个过程。

具体来讲，整个过程很明显就可以看成是一个循环链表删除节点的问题。当然，我们也可以用数组来代替循环链表来模拟整个计数以及出列的过程。此处只给出利用数组来模拟这个过程的解法，最终结果为最后一个出列的人的编号：

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;


int main()
{
  int n,m;
  cin>>n>>m;
  vector<int>rs(n);
  for(int i = 0 ; i < n; i++)
    rs[i] = i + 1;//对人物重新进行编号，从0开始
  int cur_index = 0;//当前圆桌状态下的出列人的编号
  int out_cnt = 0;//用以表示出列的人数
  int cnt = n;//表示当前圆桌的总人数
  while(out_cnt < n - 1)//当out_cnt等于n-1时，循环结束，此时圆桌师生最后一个人，即我们要的结果
  {
        if(cur_index + m > cnt)
        {
            if((cur_index + m) % cnt == 0)//这种情况需要单独考虑，否则cur_index就变成负值了
                cur_index = cnt - 1;
            else
                cur_index = (cur_index + m) % cnt - 1;
        }
        else
            cur_index = cur_index + m - 1;
        cnt--;
        out_cnt++;
        cout<<"当前出列的为："<<*(rs.begin() + cur_index)<<endl;
        rs.erase(rs.begin() + cur_index);//从数组中删去需要出队的人员
  }
  cout<<"最后一个出列的人物为 ："<<rs[0]<<endl;
}

该方法的时间复杂度为O(nm)，空间复杂度为O(n)，整个算法的基本流程还是比较清晰的，相当于每次循环更新cur_cnt、cnt和out_cnt这三个变量，当out_cnt == n-1时，此时出队的人数一共有n-1人，圆桌上只剩下一个人了，停止循环。此外，该算法有几点需要注意：

(1)首先，我们为什么要对用户进行重新编号(从0开始到n-1)，在我看来，这是因为在整个循环过程中我们用到了对当前圆桌人数总数cnt进行了取余的操作，而取余的结果包括0到cnt -1，即包括0；如果编号是从1开始的话，在余数为0的时候需要特殊处理，而从0开始编号的话，一方面符合编程习惯(下标从0开始计数)；另一方面面对取余操作不需要特殊处理。

(2)代码中的cur_index指的当前圆桌状态下需要出队的人的编号，即数到m的人的编号(此处的编号指的是重新编号的编号)；由于cur_index的值表示的是重新编号后的编号，但它的初值表示的是最开始数数的那个人的编号(初始值的时候就不表示需要出队的人的编号了)，由于题目要求的是从编号为1的人开始数数，并且其对应的新编号为0，故cur_index的初值为0。此外，在循环计算cur_index时，我们发现不论是哪种情况，cur_index更新值都有一个减1的操作；这是因为cur_index每次加m得到的值或者加m再取余得到的值，实际上是需要出队人员的原始编号(即从1开始到n结束的那个编号)，而cur_index应该表示的是重新编号后的编号，而新编号比旧编号小1，所以需要减去1，这其实可以看成是一个规律。此处可以举个例子，例如：对于n=5,m=3;cur_index的初值为0，cur_index + 3 <5,所以cur_index + m = 3(不用进行取余操作了)，如果不减1的话，3表示的是新编号，对应的旧编号就是4，而实际上应该出队的人员的编号是3，对应的新编号是2。

(3)数组rs的下标相当于新编号，而数组存储的内容相当于旧编号，rs每次删除的元素对应每次出队的人员的编号,在这里我们需要了解erase的原理，rs每删除一个元素时，被删除之后的元素就会前移，相当于新旧编号的对应关系也发生了变化，即下一个开始数数的人占据了之前出队人员的位置，它的新编号发生了变化；而对向量进行erase操作后元素移动的原理实质和圆桌人员移动的情况是一致的啊，然后结合cur_index进行操作(把vector进行erase操作后移动元素的原理看成是圆桌人员移动)，所以说能利用vector代替循环链表模拟整个过程。由于rs的内容表示旧编号，所以返回的结果直接是rs[0]的内容，不需要再加1了。

2.利用数学推导得出的公式直接求解。

方法1中利用了数组直接进行过程模拟，但空间复杂度比较高，下面给出一种更为常见的方法，即直接对整个过程归纳出一个数学公式来。公式的具体推导本文不详细描述，可参考：https://blog.csdn.net/wusuopubupt/article/details/18214999

上文中给出了公式$f(i)=[f(i-1) + m] \% i$ 其中$f(i)$表示的是当圆桌人数为$i$时，应该出队人员的编号(这里的编号指的是重新编号后的编号)；其中当$i = 1$时，$f(i) = 0$ ，所以公式的完整表达式如下：

 $$ f(i) = egin{cases} [f(i-1) + m] \% i ,& ext{i > 1} \ 0 , & ext{i = 1} end{cases} $$

所以根据这个公式，可以递归实现，也可以用迭代实现，此处只给出迭代的实现：

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int cnt= 0;
    int rs = 0;//f(1) = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        rs = (rs + m) % i;

    }

    cout<<"最后一个出列的人为："<<rs + 1<<endl;
}

该算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。需要注意的一点是，rs的初始值为0，表示当总人数为1时，应该出列的人员编号(新编号)。这里与方法1中cur_index的初值表示的意义是完全不同的。整个公式的推导过程与方法1也是完全不同的(见参考链接)。

三 问题变种

之前所遇到的问题都是从编号(旧编号)为1的人开始报数，如果从编号为k的人开始报数呢？整个问题就变了，方法2的数学公式就不适用了；如果还想用方法2中的递推数学公式的话，需要根据参考链接中的方法重新推导数学公式。但是方法1还是适用的，只需在cur_index初始化的时候，初始化k-1即可(代码的其他部分不用变)，curi_index的初值意义就表示开始数数的人的编号(新编号)。所以遇到哪种类型的问题，要看仔细喽，可以重点掌握下方法1，它的通用型更强，毕竟是直接模拟整个过程啊。