整数划分问题

整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题:

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

 

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7
2
3
3
3

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

 

下面是我根据网上的资料, 写出自己的分析和实现过程.

分析:

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

一 求将n划分为若干正整数之和的划分数

 

1. 若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。

2. 若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.

 

二 将n划分为k个整数的划分数

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

三 将n划分为若干正奇数之和的划分数

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

参考: [1]  http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

         [2]  http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

 

实现代码:

网上关于本题的实现代码都是C语言写的, 而且有过多的计算. 本来根据用户的输入规模n, 直接计算n*n的矩阵就可以了, 但是网上的代码计算的是N*N, N是个预设的值, 而且比n大很多, 这样就影响了程序的速度.

下面是我的C++实现:

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    while(cin>>n>>k) {
        int num[n+1][n+1];                     // num[i][j]表示将i划分为不大于j的划分数
        int num1[n+1][n+1];                     // num1[i][j]表示将i划分为不大于j的不同整数的划分数
        int num2[n+1][n+1];                     // num2[i][j]表示将i划分为j个整数之和的划分数
        int g[n+1][n+1], f[n+1][n+1];          // f[i][j]表示将i划分为j个奇数的划分数,g[i][j]表示将i划分为j个偶数的划分数

        for(int i=0; i<=n; i++)
            for(int j=0; j<=n; j++)
                num[i][j]=num1[i][j]=num2[i][j]=f[i][j]=g[i][j]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++) {
                if(i<j) {
                    num[i][j]=num[i][i];
                    num1[i][j]=num1[i][i];
                    num2[i][j]=0;
                }
                else if(i == j) {
                    num[i][j]=1+num[i][j-1];
                    num1[i][j]=1+num1[i][j-1];
                    num2[i][j]=1;
                }
                else {
                    num[i][j]=num[i-j][j]+num[i][j-1];
                    num1[i][j]=num1[i-j][j-1]+num1[i][j-1];
                    num2[i][j]=num2[i-1][j-1]+num2[i-j][j];
                }
            }

        // 这一部分不太理解, 为什么运行会是正确的, 求大牛解释
        f[0][0]=1; g[0][0]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=i; j++) {
                g[i][j] = f[i-j][j];
                f[i][j] = g[i-j][j] + f[i-1][j-1];
            }

        int res1 = num[n][n];
        int res2 = num2[n][k];
        int res3 = num[n][k];
        int res4 = 0;
        for(int i=0; i<=n; i++)
            res4 += f[n][i];
        int res5 = num1[n][n];

        cout<<res1<<endl<<res2<<endl<<res3<<endl<<res4<<endl<<res5<<endl<<endl;
    }
}