引入重要性
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以前我们常研究这样的函数(f(x)=x^2-3x+1)的性质，也基本能研究清楚了，但随着对函数研究的逐步深入，我们发现，好多比较复杂的问题，比如函数(g(x)=lnx-cfrac{1}{x})，它与(x)轴有没有交点，交点的横坐标为多少等等问题时，我们发现不再能顺利地通过数的角度直接解出来，这时候我们自然需要调整思路，应该思考数的角度如果行不通，能不能考虑开辟形的角度，这就是引入函数与方程思想的初衷。
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像上述的函数，求函数(g(x)=0)可以转化为求方程(lnx=cfrac{1}{x})的根，从而可以借助我们以前学过的函数(y=lnx)和函数(y=cfrac{1}{x})的图像，求两个函数图像交点的横坐标，从而使得问题得到比较简单的解决。
函数的零点
对于函数(y＝f(x)(x∈D))，把使得(f(x)=0)的实数(x)叫做函数(y＝f(x)(x∈D))的零点．简言之，零点不是点，是实数；零点是函数对应得方程(f(x)=0)的根。
有关零点的几个结论
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(1)若连续不断的函数(f(x))在定义域上是单调函数，则(f(x))至多有一个零点，也可能没有零点，比如(f(x)=2^x)单调递增，但没有零点。
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(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。比如函数(f(x)=-(x-1)(x-2))，在(1<x<2)时，函数值(f(x))都是正值。
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(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如(y=x^3)；也可能不变号，如(y=x^2)。
重要转化
函数(y=f(x)=h(x)-g(x))有零点[数的角度]
(Longleftrightarrow)函数(y=f(x))与(x)轴有交点[形的角度]
(Longleftrightarrow)方程(f(x)=0)有实根[数的角度]
(Longleftrightarrow)函数(y=h(x))与函数(y=g(x))的图像有交点[形的角度]
- 具体应用时务必注意对函数(f(x))的有效拆分，比如函数(f(x)=lnx-x+2)，
拆分为①(h(x)=lnx)和(g(x)=x-2)，或者拆分为②(h(x)=lnx-2)和(g(x)=x)，都比拆分为③(h(x)=lnx-x)和(g(x)=2)要强的多。
当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数(h(x))的图像，就需要导数参与。这是我们也就能理解有时候选择比努力更重要。
拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。
零点存在性定理
如果函数(y＝f(x))在区间([a，b])上的图象是连续不断的一条曲线，并且有(f(a)cdot f(b)<0)，那么，函数(y＝f(x))在区间((a，b))内至少有一个零点，即至少存在一个(cin (a，b))，使得(f(c)=0)，这个(c)也就是方程(f(x)＝0)的根．
- 定义的理解需要注意：
①零点存在性定理的使用有两个条件必须同时具备，其一在区间([a，b])上连续，其二(f(a)cdot f(b)<0)，缺一不可；
比如，函数(f(x)=cfrac{1}{x})在区间([-1，1])上满足(f(-1)cdot f(1)<0)，但是其在区间([-1，1])没有零点，原因是不满足第一条；
再比如函数(f(x)=2^x)，在区间([-1，1])上满足连续，但是其在区间([-1，1])没有零点，原因是不满足第二条；
②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。
变号零点的例子(f(x)=x^3)的零点(x=0)，不变号零点的例子(g(x)=x^2)的零点(x=0)。
③零点存在性定理是函数有零点的充分不必要条件。
④零点存在性定理为什么前面用闭区间([a，b])而后面用开区间((a，b))？
由于要计算(f(a))和(f(b))的值，自然函数必须在区间的端点处有定义，故前边要使用闭区间，后边如果是闭区间，则零点可能会是(x=a)或(x=b)，这样条件就会变为(f(a)cdot f(b)leq 0)，与定理的条件不符，故后边用开区间((a，b))。
求零点方法
- 解方程法；能解则解，从数的角度分析解决问题，本来就是排在第一位的。
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图像法；图像法确定函数的零点，充其量也就是个大致的区间，不大可靠，而且随个人作图的习惯出入很大。
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零点存在性定理；和图像法确定函数的零点相比，零点存在性定理可以说是比较精确的区间定位。
在具体题目中，常常需要同时用到两个以上的求解方法，
如求函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2-2，xleqslant 0}\{2x-6+lnx，x>0}end{array} ight.)的零点个数时，第一段用解方程法，第二段用图像法，共有两个零点。
二分法
对于在区间([a，b])上连续不断且满足(f(a)cdot f(b)<0)的函数(y＝f(x))，通过不断地把函数(f(x))的零点所在的区间一分为二，使有解区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
- 简单的函数的零点我们直接就可以求出来，比如(y=x^2-4)的零点，为(x=pm 2)，但是复杂一点的，比如(g(x)=lnx-cfrac{1}{x})的零点，我们用零点存在性定理只能知道其大概在区间((1，2))内，如果题目有更高的精确度要求，那么我们就需要用到二分法，这就是二分法的应用价值。
典例剖析
①函数(f(x)=x^2-1)的零点是((－1，0))和((1，0))．
分析：错误，零点不是点，应该改为函数的零点为(x=-1)和(x=1)
【解后反思】类似的理科概念有：
截距(是坐标)不是距离(长度单位)，光年(长度单位)不是年(时间单位)；
最值点(横坐标)不是点，极值点(横坐标)不是点；
②函数(y＝f(x))在区间((a，b))内有零点(函数图象连续不断)，则一定有(f(a)cdot f(b)<0).
分析：错误，比如不变号零点。
③二次函数(y＝ax^2＋bx＋c(a≠0))在(b^2－4ac<0)时没有零点。
分析：正确。抛物线与(x)轴无交点，则二次函数无零点。
④若函数(f(x))在((a，b))上单调且(f(a)cdot f(b)<0)，则函数(f(x))在([a，b])上有且只有一个零点。
分析：错误，比如分段函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2+1，xge 0}\{x-1，x<0}end{array} ight.)，在区间((-2，2))上单调递增，
且有(f(-2)cdot f(2)<0)，但是函数(f(x))在区间([-2，2])上没有零点。
分析：函数(f(x))在区间((1，2))上单调递增，现有一个零点在区间((1，2))，
则必然满足(f(1)cdot f(2)<0)，即((2-2-a)(4-1-a)<0)，
即(a(a-3)<0)，解得(0<a<3)。
分析：由(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|，xleq 2}\{(x-2)^2，x>2}end{array} ight.)，得到
(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，2-xleq 2}\{(2-x-2)^2，2-x>2}end{array} ight.)，
即(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，xge 0}\{x^2，x<0}end{array} ight.)，
再分类讨论去掉绝对值符号得到
(f(2-x)=left{egin{array}{l}{4-x，x>2}\{x，0leq xleq 2}\{x^2，x<0}end{array} ight.)，
故当(x<0)时，(g(x)=3-x^2)，(f(x)=2+x)，
当(0leq xleq 2)时，(g(x)=3-x)，(f(x)=2-x)，
当(x>2)时，(g(x)=x-1)，(f(x)=(x-2)^2)，
由函数(y=f(x)-g(x))的零点个数即为方程(f(x)=g(x))的根的个数，故有
当(x<0)时，(3-x^2=2+x)，解得(x=cfrac{-1-sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{-1+sqrt{5}}{2})(舍去)；
当(0leq xleq 2)时，(3-x=2-x)，则方程无解；
当(x>2)时，(x-1=(x-2)^2)，即(x^2-5x+5=0)，解得(x=cfrac{5+sqrt{5}}{2})或(x=cfrac{5-sqrt{5}}{2})(舍去)；
故方程(f(x)=g(x))的根的个数为(2)个，即函数(y=f(x)-g(x))的零点个数为(2)个。
分析：转化为函数(y=f(x))和函数(y=3)的图像恰有(3)个不同的交点，
做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有(3)个不同的交点，
只需要(-1<a<1)，故(ain (-1，1))。
法1：完全分离参数法，即(b=x^2+lnx-3x)有唯一实数解，即(g(x)=x^2+lnx-3x)与(y=b)有唯一的交点。
(g'(x)=2x+cfrac{1}{x}-3=cfrac{2x^2-3x+1}{x}=cfrac{(2x-1)(x-1)}{x})，
则可知当(0<x<cfrac{1}{2})时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增；
当(cfrac{1}{2}<x<1)时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减；
当(x>1)时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增；
故(g(x)_{极大}=g(cfrac{1}{2})=-cfrac{5}{4}-ln2)，(g(x)_{极小}=g(1)=-2)，
在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知两个函数图像要有唯一的交点，
则 (bin (-infty，-2)cup(-cfrac{5}{4}-ln2，+infty))。
法2：也可以考虑不完全分离参数法，(b-lnx=x^2-3x)，当转化为两个函数图像有两个交点时，由于两个函数的凹凸性，都不太好表述，故放弃；
法3：也可以考虑不完全分离参数法，(-lnx=x^2-3x-b)，当转化为两个函数图像有两个交点时，由于两个函数的凹凸性，都不太好表述，故放弃；
引申思考：
①若方程(f(x)=0)有两个实数解，则实数(b)的值是(b=-cfrac{5}{4}-ln2)或(b=-2)。
②若方程(f(x)=0)有三个实数解，则实数(b)的值是(bin(-2，-cfrac{5}{4}-ln2))。
③若方程(f(x)=0)没有实数解，则实数(b)的值是(binvarnothing)。
④若方程(f(x)=0)至少有一个实数解，则实数(b)的值是(bin(-infty，-2]cup[-cfrac{5}{4}-ln2，+infty))。
分析：完全分离参数法，得到方程(x^2-xcosx+sinx=m)有两个不同的实数根，
即函数(y=m)和函数(f(x)=x^2-xcosx+sinx)的图像有两个不同的交点，
以下用导数法求函数(f(x))的单调性；
(f'(x)=2x-cosx+xsinx+cosx=2x+xsinx=x(2+sinx))，
由于(2+sinx>0)恒成立，故
当(xin(-infty，0))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，
当(xin(0，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
故当(x=0)时，函数(f(x)_{min}=f(0)=0)，
借助函数的大致图像可知，
要使得函数(y=m)和函数(f(x)=x^2-xcosx+sinx)的图像有两个不同的交点，
则实数(m)的取值范围是((0，+infty))。
分析：两个函数的图像只有一个交点，即方程(x^2=a^x)只有一个根，
法1：利用两个函数的图像，尤其是(y=a^x)的动态图形来说明问题；曲线和曲线相切；
当(a>1)时，函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第一象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数(a)的值；设两条曲线相切时的切点为(P(x_0，y_0))，
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知，$x_0^2=a^{x_0} ④ $，代入①得到，(2x_0=x_0^2cdot lna)，化简得到(2=x_0cdot lna ⑤)，
又由④两边取对数得到，(2lnx_0=x_0cdot lna⑥)，由⑤⑥得到，(2lnx_0=2)，解得(x_0=e)，代入②得到(y_0=e^2)，
再代入③得到，(e^2=a^e)，两边取对数得到，(lna=cfrac{2}{e})，则(a=e^{frac{2}{e}})，
即两条曲线相切时的(a=e^{frac{2}{e}})，则(a>e^{frac{2}{e}})时，两条曲线必然只有一个交点。
当(0<a<1)时，函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第二象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数(a)的值；设两条曲线相切时的切点为(P(x_0，y_0))，
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知，$x_0^2=a^{x_0} ④ $，代入①得到，(2x_0=x_0^2cdot lna)，化简得到(2=x_0cdot lna ⑤)，
又由④两边取对数得到，(2ln|x_0|=x_0cdot lna⑥)，由⑤⑥得到，(2ln|x_0|=2)，解得(x_0=-e)，代入②得到(y_0=e^2)，
再代入③得到，(e^2=a^{-e})，两边取对数得到，(-lna=cfrac{2}{e})，则(a=e^{-frac{2}{e}})，
即两条曲线相切时的(a=e^{-frac{2}{e}})，则(0<a<e^{-frac{2}{e}})时，两条曲线必然只有一个交点。
综上所述，(ain(0，e^{-frac{2}{e}}))，或者(ain (e^{frac{2}{e}}，+infty))，故选(C).
法2：分离参数得到，(lnx^2=xlna)，再变形为(lna=cfrac{2ln|x|}{x})，令(h(x)=cfrac{2ln|x|}{x})，重点是作其图像；
由于(h(x))是奇函数，故当(x>0)时，(h(x)=cfrac{2lnx}{x})，以下用导数研究其单调性；
(h'(x)=cdots=cfrac{2(1-lnx)}{x^2})，则(xin (0，e))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增；则(xin (e，+infty))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减；又(h(e)=cfrac{2}{e})，故可以做出(x>0)时的(h(x))图像以及(x<0)时的(h(x))图像，如下图所示；
由图可知，(lna>cfrac{2}{e})或(lna<-cfrac{2}{e})时，两个函数图像仅有一个交点，
解得(ain(0，e^{-frac{2}{e}}))，或者(ain (e^{frac{2}{e}}，+infty))，故选(C).
分析：这类题目一般需要用到拆分，但本题目需要用到整合，通过做差构造函数，
令(f(x)=x^3-(cfrac{1}{2})^{x-2})，函数的定义域为(R)，且为增函数，
又由于(f(1)=-1<0)，(f(2)=7>0)，故(x_0)所在的区间为((1,2)).
分析：由题目可知，(T=4)，故(f(x+4)=f(x))，又(f(-x)=f(x))，则可知(f(x+4)=f(-x))，故函数图像关于(x=2)对称，
利用现有的定义域，奇偶性，周期性，对称性和解析式，做出适合题意的图像如下：
要是方程(f(x)=log_ax)有三个不同的实根，则需要满足(left{egin{array}{l}{a>1}\{log_a6<2}\{log_a10>2}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{a>1}\{a^2>6}\{a^2<10}end{array} ight.)，
解得(ain (sqrt{6}，sqrt{10}))。
分析：函数(f(x)=log_2(x+1))的图像向右平移一个单位，所得函数为(y=log_2x)，其关于直线(y=x)对称的函数为(g(x)=2^x)，
则得到(xin [0,1])时，(h(x)=g(x)-1=2^x-1)，又由于(h(x))为偶函数，则(h(-x)=h(x))①，
又(h(x-1)=h(-x-1))，则(h(x)=h(-x-2))②，由①②得到，(h(-x-2)=h(-x))，即(T=2)，
又函数(y=kcdot f(x)-h(x))有五个零点，则函数(y=kcdot f(x))与函数(y=h(x))的图像有五个交点，做出图像如下，
由图像可知，需要满足条件(left{egin{array}{l}{kcdot log_2(3+1)<1}\{kcdot log_2(5+1)>1}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{2k<1}\{kcdot log_26>1}end{array} ight.) 解得(log_62<k<cfrac{1}{2})，故选(C)。
