参数方程消参法

前言

消参的常用方法有：代入消参法，加减消参法，乘除消参法，平方消参法[或变形后平方消参]，组合消参法等。

方法例说

• 代入消参法

引例如，直线(left{egin{array}{l}{x=1+t①}\{y=2-t②}end{array} ight.(t为参数))，

将(t=x-1)代入②，得到(y=2-(x-1))，

即(x+y-3=0)，代入消参完成。

• 加减消参法

依上例，两式相加，得到(x+y-3=0)，加减消参完成。

• 乘除消参法

引例1如，(egin{cases}x=t cos heta①\y=t sin heta②end{cases}(t为参数)) ，

针对要作分母的(cos heta)分类讨论如下：

当(cos heta=0)时，直线为(x=0)；

当(cos heta eq 0)时，由(cfrac{②}{①})，两式相除得到(y=tan hetacdot x)

引例2如，(egin{cases}y=k(x-2)\y=cfrac{1}{k}(x+2)end{cases}(k为参数))

两式相乘，消去参数(k)，得到(y^2=x^2-4(y eq 0))，^[1]

• 平方消参法

引例如，圆的参数方法(left{egin{array}{l}{x=1+2cos heta①}\{y=2+2sin heta②}end{array} ight.( heta为参数))，

先变形为(left{egin{array}{l}{x-1=2cos heta①}\{y-2=2sin heta②}end{array} ight.( heta为参数))，

①②两式同时平方，再相加，得到

((x-1)^2+(y-2)^2=4)，到此平方消参完成。

• 组合法

引例如，曲线的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2s^2①}\{y=2sqrt{2}s②}end{array} ight.(s为参数))，

• 法1，使用代入消参法，由②得到(s=cfrac{y}{2sqrt{2}})，

代入①整理得到，(y^2=4x)；

• 法2，平方法+除法消参法，由(cfrac{②^2}{①})，整理得到，(y^2=4x)；

再如曲线的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=t-cfrac{1}{t}①}\{y=t+cfrac{1}{t}②}end{array} ight.(t为参数))，

分析：给①式平方得到，(x^2=t^2+cfrac{1}{t^2}-2③)，

给②式平方得到，(y^2=t^2+cfrac{1}{t^2}+2④)，

(④-③)，得到(y^2-x^2=4)，消参完成，

本题使用了平方消参法和加减消参法。

注意事项

• 参数方程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这一点常常与我们学习的函数的值域有关。举例如下：

例1参数方程(left{egin{array}{l}{x=3t^2+2}\{y=t^2-1}end{array} ight.(0leq tleq 5))表示的曲线为______________.

分析：用带入法消掉参数(t)，得到其普通方程为(x=3(y+1)+2)，即(x-3y-5=0)。这是直线。

但是，参数(t)有范围，故(x)和(y)都应该有范围。

比如，(x=3t^2+2in [2，77])，由于(y=cfrac{x-5}{3})是单调函数，故不需要再限制(y)的范围，

即表示的曲线为(x-3y-5=0(2leqslant xleqslant 77))，即为一条线段。

例2曲线(C)的极坐标方程为( ho^2cos2 heta=4( ho>0，cfrac{3pi}{4}< heta<cfrac{5pi}{4}))，求其普通方程。

分析：由题目可知，( ho^2(cos^2 heta-sin^2 heta)=4)，

即(x^2-y^2=4)，即(cfrac{x^2}{4}-cfrac{y^2}{4}=1)，等轴双曲线，有左右两支；

但是题目要求(cfrac{3pi}{4}< heta<cfrac{5pi}{4})，则符合题目的只有双曲线的左支，

故其普通方程为(x^2-y^2=4(xleq -2))

说明：极坐标方程也存在等价问题。

例3曲线(C)的参数方程为(egin{cases}y=k(x-2)\y=cfrac{1}{k}(x+2)end{cases}(k为参数))，求其普通方程。

分析：两式相乘，消去参数(k)，得到(y^2=x^2-4)，即(x^2-y^2=4)，

那么转化前后，是否等价，该考虑什么？其实只需要考虑其上的特殊点。

(x^2-y^2=4)是焦点在(x)轴的等轴双曲线，顶点是((pm2，0))，

若(y=0)，则(x=2)且(x=-2)，这不可能。故(y eq 0)，

故所求的普通方程为(x^2-y^2=4(y eq 0))

例题赏析

例4【源题见抛物线习题】已知参数方程为(left{egin{array}{l}{x=p(k^2+cfrac{1}{k^2})}\{y=p(k-cfrac{1}{k})}end{array} ight.)，则其普通方程是什么。

分析：由于(k^2+cfrac{1}{k^2}=(k-cfrac{1}{k})^2-2)，利用此公式消参，得到

(cfrac{x}{p}=(cfrac{y}{p})^2+2)，即(y^2=px-2p^2)，

即中点(P)的轨迹方程为(y^2=px-2p^2)。

例6【源题见求轨迹方程】已知参数方程(left{egin{array}{l}{x=frac{3}{1+k^2}①}\{y=frac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.(|k|< frac{2sqrt{5}}{5}))，消参求其普通方程；

(2)、求线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程。

分析【法1】：设直线(AB)的方程为(y=kx)，点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))

与圆(C_1)联立，消(y)得到，((1+k^2)x^2-6x+5=0)，

由(Delta =(-6)^2-4 imes 5(1+k^2)>0)，可得(k^2<cfrac{4}{5})，

由韦达定理可得，(x_1+x_2=cfrac{6}{1+k^2})，

则线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{3}{1+k^2}①}\{y=cfrac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.)，其中(-cfrac{2sqrt{5}}{5}<k<cfrac{2sqrt{5}}{5})，

如何消参数呢？两式相比，得到(y=kx)，即(k=cfrac{y}{x})，

代入①变形整理后得到，((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，

又由于(k^2<cfrac{4}{5})，得到(cfrac{5}{3}<xleq 3)，

故线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程为((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，其中(cfrac{5}{3}<xleq 3)。

分析：两式相除，得到(y=tx)，即(t=frac{y}{x})，代入①式，

得到(x(1+frac{y^2}{x^2})=3)，两边乘以(x)得到(x^2(1+frac{y^2}{x^2})=3x)，

即(x^2+y^2=3x),((frac{5}{3}<xleqslant 3))

例6已知参数方程(left{egin{array}{l}{x=frac{1-t^2}{1+t^2}①}\{y=frac{4t}{1+t^2}②}end{array} ight.(t为参数))，消参求其普通方程；

分析：给①式平方得到，(x^2=cfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=cfrac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}③)，

给②式平方得到，(y^2=cfrac{(4t)^2}{(1+t^2)^2}=cfrac{16t^2}{t^4+2t^2+1}④)，

为消掉参数，需要给④式两边同除以(4)得到，(cfrac{y^2}{4}=cfrac{4t^2}{t^4+2t^2+1}⑤)，

③+⑤得到，(x^2+cfrac{y^2}{4}=cfrac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=1).

故所求的普通方法为(x^2+cfrac{y^2}{4}=1).

解后反思：平方后，调整系数再相加，利用分式的和为常数，可以消掉参数；

例7已知参数方程：(left{egin{array}{l}{x=sin heta+cos heta①}\{y=sin heta-cos heta②}end{array} ight.)(( heta为参数))，求其普通方程。

法1：利用平方法+和差法，(①^2+②^2)得到，(x^2+y^2=2)；即其普通方程为(x^2+y^2=2)；

法2：利用(sin^2 heta+cos^2 heta=1)消参，由已知方程反解得到，

(sin heta=cfrac{x+y}{2})，(cos heta=cfrac{x-y}{2})，

两式平方得到，((cfrac{x+y}{2})^2+(cfrac{x-y}{2})^2=1)，

整理得到，(x^2+y^2=2)。

解后反思：消参的途径可能不唯一；

例8已知曲线(C)的参数方程：(left{egin{array}{l}{x=a+cfrac{1}{2a}①}\{y=a-cfrac{1}{2a}②}end{array} ight.)((a为参数))，求其普通方程。

分析：给①式的两边平方得到，(x^2=a^2+1+cfrac{1}{4a^2}③)；

给②式的两边平方得到，(y^2=a^2-1+cfrac{1}{4a^2}④)；

两式相减，③-④得到，(x^2-y^2=2)；

难点题目

例9已知参数方程：(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta}end{array} ight.(t eq 0))，

(1)若(t)为常数，( heta)为参数，判断方程表示什么曲线？

分析：观察参数( heta)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：

(1^{circ})、当(t eq pm1)时，由①得到(sin heta=cfrac{x}{t+frac{1}{t}})，由②得到(cos heta=cfrac{y}{t-frac{1}{t}})，

平方相加得，(cfrac{x^2}{(t+frac{1}{t})^2}+cfrac{y^2}{(t-frac{1}{t})^2}=1)，

其表示的是中心在原点， 长轴长为(2|t+cfrac{1}{t}|)，短轴长为(2|t-cfrac{1}{t}|)，焦点在(x)轴上的椭圆；

(2^{circ})、当(t= pm1)时，此时(y=0)，(x=pm 2sin heta)，则(xin [-2，2])，

其表示的是以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；

综上可知，

当(t eq pm1)时，原方程表示焦点在(x)轴的椭圆；

当(t=pm 1)时，原方程表示以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的线段；

(2)若( heta)为常数，(t)为参数，方程表示什么曲线？

分析：观察参数(t)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知(left{egin{array}{l}{x=(t+cfrac{1}{t})sin heta①}\{y=(t-cfrac{1}{t})cos heta②}end{array} ight.)，故分类讨论如下：

(1^{circ})、当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))时，由①得到(cfrac{x}{sin heta}=t+cfrac{1}{t})，

由②得到(cfrac{y}{cos heta}=t-cfrac{1}{t})，平方相减得到，

(cfrac{x^2}{sin^2 heta}-cfrac{y^2}{cos^2 heta}=4)，即(cfrac{x^2}{4sin^2 heta}-cfrac{y^2}{4cos^2 heta}=1)，

其表示的是中心在原点，实轴长为(4|sin heta|)，虚轴长为(4|cos heta|)，焦点在(x)轴上的双曲线；

(2^{circ})、当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；

(3^{circ})、当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，(y=0)，(x=pm(t+cfrac{1}{t}))，

当(t>0)时，(x=t+cfrac{1}{t}ge 2)，当(t<0)时，(x=-(t+cfrac{1}{t})leq 2)，

则(|x|ge 2)，方程(y=0(|x|ge 2))表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；

综上可知，

当( heta eq cfrac{kpi}{2}(kin Z))，方程表示焦点在(x)轴上的双曲线；

当( heta=kpi(kin Z))时，(x=0)，它表示(y)轴；

当( heta=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))时，方程表示(x)轴上以(A(-2，0))和(B(2，0))为端点的向左、向右的两条射线；

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1. 由于(k eq 0)，当(y=0)时，需要(x=2)且(x=-2)，这是不可能的，故(y eq 0)。 ↩︎