2018年宝鸡市三检文科数学题目解答

选择题：

例2【2018宝鸡市三检文科第2题】(复数的模的计算)设(i)是虚数单位，(ar{z})是复数(z)的共轭复数，若((1+i)cdot ar{z}=2)，则(|z|=)【】

$A.1$ $B.sqrt{2}$ $C.2$ $D.2sqrt{2}$

法1：设(z=a+bi(a，b in R))，则(ar{z}=a-bi)，代入已知得到((1+i)(a-bi)=1)

整理得到，((a+b)+(a-b)i=2)，则有(a+b=2)，(a-b=0)，故(a=b=1)，

即(z=1+i)，则(|z|=sqrt{2})，选(B)；

法2：利用复数的模的性质，由已知可得，(|(1+i)cdot ar{z}|=|2|)，

即(|(1+i)||ar{z}|=2)，即(sqrt{2}|ar{z}|=2)，则(|ar{z}|=sqrt{2})，

又(|ar{z}|=|z|=2)，故选B。

例2【2018宝鸡市三检文科第3题】(判断函数的奇偶性或对称性)函数(f(x)=cfrac{4^x+1}{2^x})的图像【】

$A.关于原点对称$

$B.关于x轴对称$

$C.关于$y$轴对称$

$D.关于直线y=x轴对称$

分析：注意到(f(x)=cfrac{4^x+1}{2^x}=cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x})，

则(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x))，故函数(f(x))为偶函数，故选(C)。

解后反思： 1、积累常见函数的奇偶性很重要，比如(f(x)=e^x+e^{-x})为偶函数，(f(x)=e^{|x|})为偶函数，(f(x)=e^x-e^{-x})为奇函数，等等。

例7【2018宝鸡市三检文科第7题】(程序框图+解对数不等式组)执行如图所示的程序框图，若输出(i)的值是5，则输入的(t)的取值范围是【】

$A.(-infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$

分析：第一次循环，当(i=1)时，不能退出循环，由于是将(log_3t)赋值给了(t)，故下一步判断应为(log_3tge 0)，而不是(tge 0)，此时(i=3)

第二次循环，当(i=3)时，也不能退出循环，同上，应有(log_3(log_3t)ge 0)，此时(i=5)

第三次循环，当(i=5)时，应该退出循环，同上，应有(log_3[log_3(log_3t)]< 0)，此时输出(i=5)

故要求得(t)的范围，必须满足如下的不等式组，

(egin{cases}log_3tge 0\log_3(log_3t)ge 0\log_3[log_3(log_3t)]< 0end{cases})

求解(log_3tge 0=log_31)得到(tge 1①)；

求解(log_3(log_3t)ge 0=log_31)得到(tge 3②)；

求解(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31)得到(3 < t <27③)；

求交集得到(3 < t < 27)，故选B。

解后反思：1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制，比如求解不等式(log_3[log_3(log_3t)]< 0)，从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零，即(egin{cases}t>0\log_3t>0\log_3(log_3t)>0end{cases})，即(egin{cases}t>0\log_3t>0=log_31\log_3(log_3t)>log_31end{cases})，即(egin{cases}t>0\t>1\log_3t>1end{cases})，
即(egin{cases}t>0\t>1\t>3end{cases})，故从定义域的角度得到(t>3)，从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置，即先变形为(log_3[log_3(log_3t)]< log_31)，则由单调性得到(log_3(log_3t)]<1)，即(log_3(log_3t)]<1=log_33)，即(log_3t<3=log_327)，即从单调性角度得到，(t<27)，综上，不等式(log_3[log_3(log_3t)]< 0)的解集为(3 < t < 27)。

例12【2018宝鸡市三检文科第12题】(特殊方法求解析式)已知函数(f(x))在定义域((0，+infty))上是单调函数，若对于任意(xin(0，+infty))都有(f(f(x)-cfrac{1}{x})=2)，则函数(f(x))的解析式为【】

$A.f(x)=x$ $B.f(x)=cfrac{1}{x}$ $C.f(x)=x+1$ $D.f(x)=cfrac{1}{x}$

分析：令自变量位置的整体(f(x)-cfrac{1}{x}=t)，则(f(x)=t+cfrac{1}{x})，且有(f(t)=2)；

又令(f(x)=t+cfrac{1}{x})中的(x=t)，得到(f(t)=t+cfrac{1}{t})，结合(f(t)=2)，

得到(t+cfrac{1}{t}=2)，又定义域是((0，+infty))，解得(t=1)，

故代入(f(x)=t+cfrac{1}{x})得到解析式为(f(x)=cfrac{1}{x}+1)。

解后反思：1、本题目考查了复合函数，整体思想，赋值法等数学知识，综合程度比较高。

2、求函数的解析式中的特殊方法

填空题：

例13【2018宝鸡市三检文科第13题】(由线性回归方程求某个缺省值)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如表格所示)，由最小二乘法球的回归方程(hat{y}=0.67x+54.9)，现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________

分析：由于数据中心点((ar{x}，ar{y}))必然在回归直线上，故先求得(ar{x}=30)，

代入回归直线方程得到，(ar{y}=0.67 imes 30+54.9=75)，

在计算数据是采用简单的算法，取参考值为75，设缺省值为(m)

则有(75=75+cfrac{-13+(m-75)+0+6+14}{5})，解得(m=68)。

解后反思：

1、 数据中心点((ar{x}，ar{y}))必然在回归直线上，

2、注意算法的简洁性，省时省力。

例16【2018宝鸡市三检文科第16题】(求数列的通项公式或求数列的某一项的值)设数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_1=1)，(a_{n+1}=2S_n+3)，则(S_4=)___________

法1：先求得通项，再求值，(S_{n+1}-S_n=2S_n+3)，

即(S_{n+1}=3S_n+3)，两边同加(cfrac{3}{2})，得到

(S_{n+1}+cfrac{3}{2}=3S_n+3+cfrac{3}{2})，即(S_{n+1}+cfrac{3}{2}=3S_n+cfrac{9}{2})，

(S_{n+1}+cfrac{3}{2}=3(S_n+cfrac{3}{2}))，又(S_1+cfrac{3}{2}=cfrac{5}{2} eq 0)，

故数列({S_n+cfrac{3}{2}})是首项为(cfrac{5}{2})，公比为(3)的等比数列，

则(S_4+cfrac{3}{2}=cfrac{5}{2}cdot 3^{4-1})，

从而计算得到(S_4=66)，很麻烦。

如果题目是求解(S_{400})，那么法1就起了大作用，法2就失效了。

法2：由于所求为(S_4)，下标很小，所以我们常常利用(a_{n+1}=2S_n+3)递推计算，

(a_1=1)，代入(a_{n+1}=2S_n+3)，则(a_2=2a_1+3=5)，

则(a_3=2(a_1+a_2)+3=15)，(a_4=2(a_1+a_2+a_3)+3=45)，

故(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+5+15+45=66)。

解答题：

例17【2018宝鸡市三检文科第17题】(三角函数和解三角形)已知向量(vec{a}=(2sinx，sqrt{3}cosx))，(vec{b}=(-sinx，2sinx))，(f(x)=vec{a}cdot vec{b})，

(1)求(f(x))的单调递增区间；

(2)在(Delta ABC)中，(a、b、c)分别是角(A、B、C)的对边且(f(C)=1)，(c=1)，(ab=2sqrt{3})，(a>b)，求(a、b)的值。

分析：(1)(f(x)=vec{a}cdotvec{b}=2sinxcdot (-sinx)+sqrt{3}cosxcdot 2sinx)，

(=sqrt{3}sin2x+cos2x-1=2sin(2x+cfrac{pi}{6})-1)；

令(-cfrac{pi}{2}+2kpi leq 2x+cfrac{pi}{6}leq cfrac{pi}{2}+2kpi)

得到(-cfrac{pi}{3}+kpi leq xleq cfrac{pi}{6}+kpi)

故(f(x))的单调递增区间为([-cfrac{pi}{3}+kpi，cfrac{pi}{6}+kpi](kin Z))

(2)由(f(C)=1)，即(2sin(2C+cfrac{pi}{6})-1=1)，即(sin(2C+cfrac{pi}{6})=1)，

则有(2C+cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{2})，故(C=cfrac{pi}{6})；

又(c=1)，(ab=2sqrt{3})，由余弦定理得到

(c^2=1=a^2+b^2-2abcoscfrac{pi}{6})，

即(a^2+b^2=7)，联立(ab=2sqrt{3})，

解得(a=2，b=sqrt{3})或(a=2，b=sqrt{3})，

由于(a>b)，故(a=2，b=sqrt{3})。

例19【2018宝鸡市三检文科第19题】(概率与统计)某中学高三文科班学生参加了数学与英语水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取了100人的成绩进行统计分析，抽取的100人的数学与英语水平测试的成绩如表，成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示英语成绩与数学成绩，例如：表格中数学成绩为良好的共有(20+18+4=42)人。

(1)若该样本中，数学成绩的优秀率为(30%)，求(a、b)的值。

(2)若样本中(age 10)，(bge 8)，求在英语成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率。

分析(1)由题可知，(cfrac{7+9+a}{100}=30%)，解得(a=14)，故(b=100-(7+20+5+9+18+6+a+4)=17)；

(2)首先明确，第二问与第一问已经没有关系了。

“在英语成绩及格的学生中”，指的是(a+b+4=35)人，即(a+b=31)人，

"数学成绩优秀的人数"指的是(a)，"数学成绩及格的人数"指的是(b)，

即需要满足(a < b)，同时需满足(age 10)，(bge 8)，以及(a，bin N^*)，

故由(a、b)组成的所有情况用坐标形式((a，b))表达，则共有

((10，21))，((11，20))，((12，19))，((13，18))，

((14，17))，((15，16))，((16，15))，((17，14))，((18，13))，((19，12))，

((20，11))，((21，10))，((22，9))，((23，8))共有(14)种情形，其中满足(a < b)的有

((10，21))，((11，20))，((12，19))，((13，18))，((14，17))，((15，16))，

设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件(B)，则(P(B)=cfrac{6}{14}=cfrac{3}{7})。

例21【2018宝鸡市三检文科第21题】(函数与导数)已知函数(f(x)=cfrac{x^2+ax+1}{x}(x>0，ain R))。

(1)当(aleq -2)时，讨论函数(f(x))的零点个数。

(2)若函数(g(x)=e^x-lnx+2x^2+1)，对任意(xin(0，+infty))，总有(xf(x)leq g(x))成立，求实数(a)的最大值。

分析：(1)法1：(f(x)=x+cfrac{1}{x}+a)，由于求函数的零点的个数，

故令(f(x)=0)，即(-a=x+cfrac{1}{x})，

或者令(f(x)=0)，即(x^2+ax+1=0)，即(-ax=x^2+1)

分离参数得到，(-a=x+cfrac{1}{x})，

至此，做函数(y=x+cfrac{1}{x})和函数(y=-a)的图像，

由图像可以看出，当(a=-2)时，两个函数的图像有一个交点，即原函数有一个零点；

当(a<-2)时，两个函数的图像有两个交点，即原函数有两个零点；

(2)由题目可知，(x^2+ax+1leq e^x-lnx+2x^2+1)对任意(x>0)恒成立，

变形得到(axleq e^x-lnx+x^2)，

分离参数得到(aleq cfrac{e^x-lnx+x^2}{x})对任意(x>0)恒成立，

故令(h(x)=cfrac{e^x-lnx+x^2}{x})，需要求出(h(x)_{min})，

(h'(x)=cfrac{(e^x-cfrac{1}{x}+2x)cdot x-(e^x-lnx-x^2)cdot 1}{x^2})

(=cfrac{e^x(x-1)+lnx-1+x^2}{x^2})

令(m(x)=e^x(x-1)+lnx-1+x^2)，

(m'(x)=e^x(x-1)+e^x+cfrac{1}{x}+2x=e^x+cfrac{1}{x}+2x)，

则(x>0)时，(m'(x)>0)恒成立，故(m(x))单调递增，

但是我们不能求解(m(0))或者(m(+infty))，故此思路失效，此时尝试观察法，

当(x=1)时，(h'(x)=0)，

【纯粹的数学素养，当出现(lnx)时用(x=1)尝试，常常我们就能得到需要的分界点】

当(0< x <1)时，(h'(x) <0)，

当(x >1)时，(h'(x) >0)，

故(h(x))在((0，1))上单调递减，在((1，+infty))上单调递增，

故(h(x)_{min}=h(1)=e+1)，

故(aleq e+1)。

解后反思：

1、第二问求二阶导的目的是为了求一阶导数的正负，往往通过给定区间的端点值来求解，

如果端点值不能用，则求二阶导数就失去了其价值，需要从新考虑思路。

例22【2018宝鸡市三检文科第22题】(坐标系与参数方程)已知圆锥曲线(C：egin{cases}x=2cosalpha\y=sqrt{3}cosalphaend{cases}(alpha为参数))和定点(A(0，sqrt{3}))，(F_1，F_2)是此圆锥曲线的左右焦点，以原点为极点，以(x)轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求直线(AF_2)的直角坐标方程；

(2)经过点(F_1)且与直线(AF_2)垂直的直线(l)交此圆锥曲线于(M，N)两点，求(||MF_1|-|NF_1||)的值。

分析：(1)消参数得到曲线(C)的直角坐标方程为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)；

由于(A(0，sqrt{3}))，(F_2( 1，0))，故直线方程为(sqrt{3}x+y-sqrt{3}=0)。

此时直线的斜率为(k_0=-sqrt{3})；

(2)由上可知，直线(l)的斜率为(k_1=cfrac{sqrt{3}}{3})，即倾斜角为(alpha=cfrac{pi}{6})，

又点(F_1(-1，0))，故直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=x_0+cosalphacdot t\y=y_0+sinalpha cdot t end{cases}(t为参数))

即(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2} t\y=0+cfrac{1}{2} t end{cases}(t为参数))

将其代入曲线(C)的直角坐标方程(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)；

整理为(13t^2-12sqrt{3}t-36=0)，

容易证明(Delta >0)，令(M，N)分别对应的参数为(t_1，t_2)，

则有(t_1+t_2=cfrac{12sqrt{3}}{13}>0)，(t_1t_2=-cfrac{36}{13}<0)；

则(t_1，t_2)异号，(t_1>0，t_2<0)或(t_1<0，t_2>0)

则(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2)，或者 (|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2)

则(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=cfrac{12sqrt{3}}{13})。

解后反思：

1、有学生注意到(cfrac{y-0}{x+1}=cfrac{sqrt{3}}{3})，引入参数(m)，

得到直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=-1+3m\y=0+sqrt{3}m end{cases}(m为参数))

这个也是直线(l)的参数方程，不过不是直线的参数方程的标准形式，也就是说(m)和(t)的含义不一样。

2、我们可以将这个非标准形式的参数方程转化为标准形式的参数方程。如下转化：

(egin{cases}x=-1+3m=-1+cfrac{3}{sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}}cdot sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}cdot m \y=0+cfrac{sqrt{3}}{sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}}cdotsqrt{3^2+(sqrt{3})^2}cdot m end{cases}(m为参数))

即(egin{cases}x=-1+cfrac{3}{2sqrt{3}}cdot 2sqrt{3}cdot m \y=cfrac{sqrt{3}}{2sqrt{3}}cdot 2sqrt{3}cdot m end{cases}(m为参数))

(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2}cdot 2sqrt{3}cdot m \y=cfrac{1}{2}cdot 2sqrt{3}cdot m end{cases}(m为参数))

此时令(2sqrt{3}m=t)，则上述参数方程变形为

即(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2}cdot t\y=cfrac{1}{2}cdot t end{cases}(t为参数))