前言
一直在想，我们该如何启发学生的思维，受一篇帖子的启发，偶发感想，对高中数学中暂时能想到的素材做以整理，以飨读者。
由数到式
A+、解方程中的由数到式，单项式到多项式
下面的表达式我们肯定经常见到，但是不大会引起我们的共鸣。
那么你有没有想过，如果我们用一个未知数(x)同时替换上式中的(1)和(2)，
就得到了一个相同的式子，就是(x^2-3x+2=0)，这就是一元二次方程。
这样的一元二次方程一般都会求解，要么用公式法，要么分解为((x-1)(x-2)=0)，
利用实数的性质，得到(x=1)或(x=2)。
问题是你有没有思考过，这个替换过程中，已经体现了由数(1(2))到未知数(x)的提升，思维已经完成了由算术到代数的质的飞跃，也就是说，已经开始用字母代替数字思维了。也许这是个了不起的变化。
为什么这么说呢？我们可以这样想，求解这个方程，(x^4-3x^2+2=0)，我们其实可以这样做，
令(x^2=tge 0)，则原方程就会转化为(t^2-3t+2=0)，可以先解出(t=1)或(t=2)，
然后再求解(t=x^2=1)或(t=x^2=2)，从而解得(x=pm 1)或(x=pm sqrt{2})。
其实，我们只是使用了代数变换，或者整体思想，就解决了我们看起来很困难的问题。这是一个了不起的变化。
一旦我们的思维被打通，那么我们能解决的问题，就绝不止这些了。
比如求解这样的方程$$(e^x)^2-3e^x+2=0$$ $$(log_2x)^2-3log_2x+2=0$$ $$(sqrt[3]{x+1})^2-3sqrt[3]{x+1}+2=0$$ $$(sin heta)^2-3sin heta+2=0$$ $$(cos heta)^2-3cos heta+2=0$$
只是分别做了这样的整体代换(t=e^x)，(t=log_2x)，(t=e^x)，(t=sqrt[3]{x+1})，(t=sin heta)，(t=cos heta)而已。
甚或我们还可以完成有单项式到多项式的替换，这样我们的思维层次就更高一些了，
比如求解$$(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0$$ $$(sin heta-1)^2-3(sin heta-1)+2=0$$
也无非就是让模型(t^2-3t+2=0)中的未知数变得更复杂，(t=log_2x+1)而已，
看到这里，你能仿照着编写一个求方程的题目吗？
这样我们不就有了些许的学习成就感了吗？
B、解不等式中的数到式，单项式到多项式
解这样的不等式(x^2-3x+2<0)，解集是({xmid 1<x<2})，高三的学生基本是手到擒来，
但是你有没有想过，这样的(x)或许还可以是式子，比如(|x|^2-3|x|+2<0)，
那么比照上面的解法，只是用(|x|)替换了(x)，我们肯定能得到(1<|x|<2)，
然后问题转化为解绝对值不等式，(1<|x|<2)，得到解集为(1<x<2)或(-2<x<-1)；
由(|x|<1)得到(-1<x<1)，那么由(|2|x|-1|<1)，能得到什么？(-1<2|x|-1<1)，即(0<2|x|<2)，即(0<|x|<1)，解得(-1<x<0)或(0<x<1)；
那么下面的不等式你会解吗？
(e^{2x}-3e^x+2<0)； (e^xlongrightarrow x)
(log_2^2x-3log_2x+2<0)；(log_2xlongrightarrow x)
((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0)；(sinx+1longrightarrow x)
(x^4-3x^2+2<0)；(x^2longrightarrow x)
再比如，当我们会解三角不等式 (2sinx>1)，解集为({xmid 2kpi+cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{5pi}{6}})
那么，(2sin(3x+cfrac{pi}{4})>1)，理解了上述的表达，
你就会写出此不等式的解集为({3x+cfrac{pi}{4}mid 2kpi+cfrac{pi}{6}<3x+cfrac{pi}{4}<2kpi+cfrac{5pi}{6}})
再整理为({xmid cfrac{2kpi}{3}-cfrac{pi}{36}<x< cfrac{2kpi}{3}+cfrac{7pi}{36}})；
C、算法中的思维训练
5、已知(tanalpha=cfrac{1}{2})，求(sin^4alpha-cos^4alpha)的值。
【法1】：方程组法，由(left{egin{array}{l}{cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2}}\{sin^2alpha+cos^2alpha=1}end{array} ight.)，
解得(sin^2alpha=cfrac{1}{5})，(cos^2alpha=cfrac{4}{5})，
代入得到(sin^4alpha-cos^4alpha=-cfrac{3}{5})；
【法2】：齐次式法，(sin^4alpha-cos^4alpha=(sin^2alpha-cos^2alpha)(sin^2alpha+cos^2alpha)=sin^2alpha-cos^2alpha)
(=-cos2alpha=-cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{3}{5})；
【法3】：由(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{2})，引入比例因子，可设(sinalpha=k)，(cosalpha=2k(k eq 0))，
由(k^2+(2k)^2=1)，可得(k^2=cfrac{1}{5})，故(k^4=cfrac{1}{25})，
则(sin^4alpha-cos^4alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-cfrac{3}{5})；
8、三角函数中的齐次式
比如：(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数)；
小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；
比如：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})
小结：实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化；
再比如：(asin2 heta+bcos2 heta=cfrac{asin2 heta+bcos2 heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{a an heta+b-b an^2 heta}{tan^2 heta+1})，
其余留作思考：(sin2 heta)， (cos2 heta)，(1+sin2 heta)， (2-cos2 heta)，(3sin2 heta-2cos2 heta) 等等
C、从算术到代数的演变
D、注意数学知识的给出方式，
E、用四则运算构造新函数
F、从简原则，变量集中
五、向量的使用，新工具的作用的体会
六、参数方程中的参数，参数的几何意义，变量集中，
七、线性规划的引申，由数到形，如求(cfrac{y+2}{x-1})的取值范围。
八、进退结合，
九、求解(lnx=1-x)的体会，数行不通，换形。代数方程到超越方程。
十、由(a_{n+1}=pa_n+q)构造到(a_{n+1}=3a_n+8n+6)的构造等等；
十一、用临界位置打通数形联系
如(x^2+y^2=1)，我们知道这是个圆，即圆上的所有点构成的点集；
那么(y=sqrt{1-x^2})，应该是(x)轴上方的单位圆；
那么碰到(0leq yleq sqrt{1-x^2})呢？
先用等号替换不等号得到(y=0)或者(y=sqrt{1-x^2})，
其分别刻画的是(x)轴和(x)轴上方的单位圆；
故(0leq yleq sqrt{1-x^2})刻画的应该是(x)轴上方的单位圆和单位圆的内部；
十二、归纳推理，类比推理
数列的前(n)项和(S_n)；数列的前(n)项积(T_n)；