三角函数式的化简

前言

所谓三角函数式的化简，其本质就是灵活运用三角公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到比较简单的三角函数式，以便于后续解题，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。

三看

化简要求

(1)使三角函数式的次数尽量低;

(2)使三角函数式中的项数尽量少;

(3)使三角函数的种类尽量少;

(4)使三角函数式中的分母尽量不含有三角函数;

(5)使三角函数式中尽量不含有根号和绝对值符号;

(6)能求值的，要求出具体的值,否则就用三角函数式来表示.

常用变形：

弦切互化，1的代换，通分约分，配方展开，平方或开方，合并同类项，提取公因式，公式的逆用，变用，分类讨论等；

典例剖析：

例1化简：(sqrt{1-2sin(pi+2)cos(pi+2)})

分析：(sqrt{1-2sin(pi+2)cos(pi+2)}=sqrt{1-2sin2cos2})

(=sqrt{(sin2-cos2)^2}=|sin2-cos2|=sin2-cos2)

备注：(2rad=2 imes 57.3^{circ}，sin2>0，cos2<0，).

例2已知(x)为第三象限的角，化简：(sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2})

分析：(sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2}=sqrt{2+2tan^2x}=sqrt{2}cdotsqrt{1+tan^2x})

(=sqrt{2}cdotsqrt{1+cfrac{sin^2x}{cos^2x}}=sqrt{2}cdotsqrt{cfrac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}})

(=sqrt{2}cdotsqrt{cfrac{1}{cos^2x}}=sqrt{2}cfrac{1}{|cosx|}=-cfrac{sqrt{2}}{cosx})

例3化简：(sqrt{(1-sinalpha sineta)^2-cos^2alpha cos^2eta})，其中(-cfrac{pi}{2}<alpha<eta<cfrac{pi}{2})

分析：(sqrt{(1-sinalpha sineta)^2-cos^2alpha cos^2eta})

(=sqrt{(1-sinalpha sineta-cosalpha coseta)(1-sinalpha sineta+cosalpha coseta)})

(=sqrt{(1-cos(alpha-eta))(1+cos(alpha+eta)})

(=sqrt{2sin^2cfrac{alpha-eta}{2}cdot 2cos^2cfrac{alpha+eta}{2}})

(=|2sincfrac{alpha-eta}{2}coscfrac{alpha+eta}{2}|)

由于(-cfrac{pi}{2}<alpha<eta<cfrac{pi}{2})，可以得到(-pi<alpha+eta<pi)，

即(-cfrac{pi}{2}<cfrac{alpha+eta}{2}<cfrac{pi}{2})，

故(coscfrac{alpha+eta}{2}>0)；

同时能得到(-pi<alpha-eta<pi)，且(alpha-eta<0)，故(-pi<alpha-eta<0)，

则(-cfrac{pi}{2}<cfrac{alpha-eta}{2}<0)，故(sincfrac{alpha-eta}{2}<0)

故原式(=-2sincfrac{alpha-eta}{2}coscfrac{alpha+eta}{2})

例4化简(cfrac{(1+sin heta+cos heta)(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2+2cos heta}})，其中(0< heta<pi)，

分析：原式(=cfrac{[(1+cos heta)+sin heta](sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2(1+cos heta)}})

(=cfrac{(2cos^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2})(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2cdot 2cos^2cfrac{ heta}{2}}})

(=cfrac{2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2})(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{2coscfrac{ heta}{2}})

(=sin^2cfrac{ heta}{2}-cos^2cfrac{ heta}{2}=-cos heta)。

例5化简((cfrac{1}{tanfrac{ heta}{2}}-tancfrac{ heta}{2})cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

分析：原式(=(cfrac{cosfrac{ heta}{2}}{sinfrac{ heta}{2}}-cfrac{sinfrac{ heta}{2}}{cosfrac{ heta}{2}})cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+2cdot tancfrac{ heta}{2})

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+cfrac{2cdot sinfrac{ heta}{2}cdotsinfrac{ heta}{2}cdot 2}{ cosfrac{ heta}{2}cdot sinfrac{ heta}{2}cdot 2})

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+cfrac{2(1-cos heta)}{sin heta})

(=cfrac{2}{sin heta})

例6化简((tanalpha+cfrac{1}{tanalpha})cdot cfrac{1}{2}sin2alpha-2cos^2alpha)

分析：切化弦，

原式(=(cfrac{sinalpha}{cosalpha}+cfrac{cosalpha}{sinalpha})cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=cfrac{1}{sinalpha cosalpha}cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=1-2cos^2alpha)

(=-cos2alpha)

例7化简：(sqrt{2+2cos8}+2sqrt{1-sin8})

分析：如果你能注意到(8=2 imes 4)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，

原式(=sqrt{2}sqrt{1+cos8}+2sqrt{1-sin8})

(=sqrt{2}sqrt{2cos^24}+2sqrt{sin^24+cos^24-2sin4cdot cos4})

(=2|cos4|+2sqrt{(sin4-cos4)^2})

(=2|cos4|+2|sin4-cos4|)

(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4)

反思总结：(4radapprox 229^{circ})，终边在第三象限的后半段，此时(cos4>sin4)。

例8化简(cfrac{sin(kpi+alpha)cdot cos(2kpi+alpha)}{sin(2kpi+alpha)cdot cos(kpi-alpha)}(kin Z))；

分析：碰到(kpi+alpha)的形式，则角的终边在两个象限内，故需要分类讨论：

当(k=2n(nin N))时，原式=(cfrac{sinalphacdot cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}=1)

当(k=2n+1(nin N))时，原式=(cfrac{sin(pi+alpha)cdot cosalpha}{sinalphacdot cos(pi-alpha)}=cfrac{-sinalphacdot cosalpha}{sinalphacdot(- cosalpha)}=1)

例9设(cfrac{pi}{4}< heta<cfrac{pi}{2})，则(sqrt{1+sin2 heta}+sqrt{1-sin2 heta})=【】

$A.2sin heta$ $B.2cos heta$ $C.-2sin heta$ $D.-2cos heta$

法1：常数(1)的代换的使用和平方差公式，

由于(cfrac{pi}{4}< heta<cfrac{pi}{2})，则(sin heta>cos heta)，则原式

(sqrt{1+sin2 heta}+sqrt{1-sin2 heta})

(=sqrt{sin^2 heta+2sin hetacdot cos heta+cos^2 heta}+sqrt{sin^2 heta-2sin hetacdot cos heta+cos^2 heta})

(=sqrt{(sin heta+cos heta)^2}+sqrt{(sin heta-cos heta)^2})

(=|sin heta+cos heta|+|sin heta-cos heta|)

(=(sin heta+cos heta)+(sin heta-cos heta)=2sin heta)，故选(A)；

法2：先平方再开方，先退后进策略；

由于(cfrac{pi}{4}< heta<cfrac{pi}{2})，则(cos2 heta<0)，(sin heta>0)，则原式

(sqrt{1+sin2 heta}+sqrt{1-sin2 heta})

(=sqrt{(sqrt{1+sin2 heta}+sqrt{1-sin2 heta})^2})

(=sqrt{2+2sqrt{1+sin2 heta}cdot sqrt{1-sin2 heta}})

(=sqrt{2+2sqrt{1^2-sin^22 heta}})

(=sqrt{2+2sqrt{cos^22 heta}}=sqrt{2+2|cos2 heta|})

(=sqrt{2-2cos2 heta}=sqrt{2}cdot sqrt{1-cos2 heta})

(=sqrt{2}cdot sqrt{2sin^2 heta}=sqrt{2}cdot sqrt{2}|sin heta|)

(=2sin heta)，故选(A) .