集合知识点

前言

相关概念

元素与集合

1、集合元素的性质：确定性、互异性比如方程(x^2)(-)(2x)(+)(1)(=0)在初中我们认为有两个相同解，而不认为只有一个解;如果其解集用集合刻画，则必须写成({1})，是个单元素集合，而不能写成({1,1})；(quad)、无序性

若(-1in{2,a^2-a-1,a^2+1})，则(a)=【】

$A.-1$ $B.0$ $C.1$ $D.0或1$

分析：①当(a^2-a-1=-1)时，即(a^2-a=0)，解得(a=0)或(a=1)；

当(a=1)时，({2,a^2-a-1,a^2+1}={2,-1,2})，与元素的互异性矛盾，舍去；故(a=0)

②当(a^2+1=-1)时，(a^2=-2)，(a)无实数解，

由①②可得，(a=0)，故选(B).

集合({2a,a^2-a})中实数(a)的取值范围为___________.

分析：由(a^2-a eq 2a)，解得(a eq 0)且(a eq 3).

2、集合与元素的关系：(ain{a})，(b otin{a})，

3、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法；数集的表示方法还要添加字母法、区间法。

注意区分(varnothing)、({0})、({varnothing})，其中集合({0})、({varnothing})都是单元素集合，(varnothing)里面没有一个元素。

4、常见数集的字母表示及其关系：(N^*(N_+)subsetneqq Nsubsetneqq Z subsetneqq Q subsetneqq R subsetneqq C)

集合关系

子集：(xin ARightarrow xin B)，则(Asubseteq B)。

真子集：(Asubseteq B，exists xin B，x otin A)，则(A subsetneqq B)

相等：(Asubseteq B，Bsubseteq ALongleftrightarrow A=B)

空集：(forall x otin varnothing，varnothingsubseteq A)

集合运算

交集：({xmid xin A且xin B})；

并集：({xmid xin A或xin B})；

补集：({xmid xin U且x otin A}=C_UA)；

集合性质

并集的性质：(Acupvarnothing=A);(Acup A=A);(Acup B=Bcup A);(Asubseteq BLongleftrightarrow Acup B=B)；

交集的性质：(Acapvarnothing=varnothing);(Acap A=A);(Acap B=Bcap A);(Bsubseteq ALongleftrightarrow Acap B=B)；

补集的性质：(Acup(C_UA)=U)；(Acap(C_UA)=varnothing)；(C_U(C_UA)=A)；(C_U(Acup B)=(C_UA)cap(C_UB))；(C_U(Acap B)=(C_UA)cup(C_UB))；

集合分类

我们根据集合的元素的特点，将其分为数集、点集、式集、图形集、向量集等等，这样我们在区分集合时就变得很容易；比如，

集合(A={ xmid y=x^2+3x-2})，实质是数集，就是函数(y=x^2+3x-2)的定义域；

集合(B={ymid y=x^2+3x-2})，实质是数集，就是函数(y=x^2+3x-2)的值域；

集合(C={(x，y)mid y=x^2+3x-2})，实质是点集区分点集和数集，主要看代表元素，若是数(;x;)[往往对应方程的根，不等式的解集，或函数的定义域]或(;y;)[往往对应值域]则为数集，若是有序数对则为点集；(quad)，就是函数(y=x^2+3x-2)图像上的所有点构成的点集合；此时如果求(Acap C=varnothing)；

集合(D={x^2，x^2+2y-1，t^3+1})，实质是代数式集合，简称式集；

集合(E={)三角形(})，实质是图形集合；

集合(F={vec{a}，vec{b}，vec{c}，vec{d}})，实质是向量集合；

当然，集合还可以根据其元素的有限与无限分为有限集和无限集。

注意区别刻画集合的描述法和列举法

集合(A={xin Nmid xleq sqrt{10}})，这是用描述法表达的，当然还可以简化为用列举法表示，比如(A={x mid x=0,1,2,3})，这时候我们甚至可以写的更简单，比如(A={0,1,2,3})。

常用结论

含有(n)个元素的集合({a_1，a_2，cdots，a_n})，其所有的子集个数有(2^n)个。

解释：从含有(n)个元素的集合中分别取(0)、(1)、(2)、(cdots)、(n)个元素，则构成的集合的子集的个数分别为(C_n^0)、(C_n^1)、(C_n^2)、(cdots)、(C_n^n)个，故所有的子集的个数有(C_n^0+C_n^1+C_n^2+cdots+C_n^n=2^n)；

所有的真子集个数有(2^n-1)个，即去掉(C_n^n)的那一个；所有的非空子集个数有(2^n-1)个。即去掉(C_n^0)的那一个；所有的非空真子集个数有(2^n-2)个。即去掉(C_n^0=1)和(C_n^n=1)那两个。

• 二项式定理((a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+cdots+C_n^na^0b^n)；

当令(a=b=1)时，上式即为(C_n^0+C_n^1+C_n^2+cdots+C_n^n=(1+1)^n=2^n)；

自定义概念

集合(A={xmid -2leq xleq 7})，由于其左右端点是固定不变化的，故我们可以形象的称其为定集；集合(B)(=)({)(x)(mid)(m+1)(<)(x)(<)(2m-1)(})，其左右端点是随着(m)的取值变化的，故我们可以形象的称其为动集；这样两个集合的关系就可能随着(m)的取值发生变化。

仿二次方程：比如(ax^2+3x-2=0)，由于题目没有告诉(a)的取值，那么它就可能是一次方程(3x-2=0)，也可能是二次方程(ax^2+3x-2=0(a eq 0))，故当我们看到仿二次方程时，我们就应该想到分类讨论，由于思维定势的缘故，最容易漏掉(a=0)的情形；

以此类推，(y=ax^2+3x-2)就是仿二次函数，包含了一次函数和二次函数两种情形；(ax^2+3x-2ge 0)就是仿二次不等式，包含了一次不等式和二次不等式两种情形；很显然题目中出现这个就是想看看，你的思维是否严密。

【北师大必修一(P_6) (B)组第1题】已知集合(A={xin Rmid ax^2+2x+1=0，ain R})中只有一个元素((A)也可叫作单元素集合)，求(a)的值，并求出这个元素；

分析：由于(ax^2+2x+1=0)，(ain R)，则所给的方程为仿二次方程，故需要针对(a)分类讨论，

①当(a=0)时，方程变化为(2x+1=0)，则解集为单元素集合({-cfrac{1}{2}})，满足题意；

②当(a eq 0)时，方程(ax^2+2x+1=0)为二次方程，又要求其解集为单元素集合，则必须(Delta=0)，即(2^2)(-)(4a)(=)(0)，即(a=1)，此时方程变为(x^2)(+)(2x)(+)(1)(=0)，解集为单元素集合({-1})；

加深认识

重新认识集合的作用和地位，主动使用集合工具刻画数学素材

用集合工具来刻画点集

直线比如({(x，y)mid 2x-y+1=0})；曲线比如({(x，y)mid x^2+y^2=4}={(2cos heta，2sin heta)})；

比如({(x，y)mid cfrac{x^2}{9}+cfrac{y^2}{4}=1}={(3cos heta，2sin heta)})；

交点比如({(x，y)mid egin{cases} 2x+y-1=0\ 3x-y+2=0end{cases} })；平面区域比如(left{(x，y)mid egin{cases}x^2+y^2leq 4\ xge 0\ yge0end{cases} ight})；

用集合工具来刻画函数的性质

定义域比如({xmid y=x^2-3x-2}=R)；

值域比如({ymid y=x^2+2}=[2，+infty))；

单调性比如函数(y=f(x))上的任意两个点((x_1，y_1))、((x_2，y_2))满足条件，若(x_1>x_2)，则必有(y_1>y_2)，也即意味着函数是单调递增的；也就是当(x_1>x_2)时，有(f(x_1)>f(x_2))成立；

奇偶性比如函数(y=f(x))上的任意两个点((x_1，y_1))、((x_2，y_2))满足条件，若(x_1+x_2=0)，则必有(y_1=y_2)，也即意味着函数是偶函数；也就是满足(f(-x)=f(x))；

对称性比如函数(y=f(x))上的任意两个点((x_1，y_1)、(x_2，y_2))满足条件，若(x_1+x_2=2)，则必有(y_1+y_2=2)，也即意味着函数是关于点((1，1))对称的；也就是满足(f(2-x)+f(x)=2)；

用集合工具来刻画数集

方程的根比如({xmid x^2-3x+2=0}={1，2})；

不等式的解集比如({xmid x^2-3x+2leq 0}=[1，2])；

用集合工具来表示其他的集合

无理数集合比如(C_RQ)；

集合的并集({xmid x=2k，kin Z}cup{xmid x=2k+1，kin Z}=Z)

角的集合的并集({xmid x=2kpi+cfrac{pi}{4}，kin Z}cup{xmid x=(2k+1)pi+cfrac{pi}{4}，kin Z}={xmid x=kpi+cfrac{pi}{4}，kin Z})

题型方法

1、利用集合之间的关系求参数的取值时，解题后要进行检验，防止不满足集合元素的确定性和互异性；

2、要重视符号语言和文字语言之间的相互转化。

3、集合的运算问题的常用策略：充分利用数轴和韦恩图，数形结合。

失误防范

• 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。

• 解答集合题目，认清集合元素的属性(点集，数集，或其他)和化简集合是正确求解的两大先决条件。

• 常用韦恩图示法和数轴图示法解决集合的交、并、补集运算，利用数轴图示法时要注意端点的实心或空心。

• 要注意这五个关系的等价性：(Asubseteq B) (Longleftrightarrow) (Acap B=A) (Longleftrightarrow) (Acup B=B) (Longleftrightarrow) (C_UBsubseteq C_UA) (Longleftrightarrow) (Acap(C_UB)=varnothing)

• 题目中出现(Asubseteq B)时，常常意味着集合(A)有两种情形：(A=varnothing)和(A eq varnothing)。

(Asubseteq BLongleftrightarrow Acap B=A)；(Asubseteq BLongleftrightarrow Acup B=B)；

• 由集合关系求参数的取值范围时，给定(Asubseteq B)和(Asubsetneqq B)的求解是有区别的，后者常常需要验证排除使得(A=B)的参数值。

本来针对(Asubsetneqq B)列不等式组时，应该分类讨论，但我们觉得太麻烦，常常直接依照(Asubseteq B)来列不等式组，最后添加一个口算验证即可，这样省事的多。

给定集合(A={xmid-4<x<1})，(B={xmid m<x<m+3})，已知(Bsubsetneqq A)，求参数(m)的取值范围。

分析：由(Bsubsetneqq A)，则({xmid m<x<m+3}subsetneqq {xmid -4<x<1})，

由题目可先直接得到(left{egin{array}{l}{-4leqslant m}\{m+3leqslant 1}end{array} ight.)，从而解得(-4leqslant mleqslant -2)，

然后口算验证，当(m=-4)时，(A=(-4,1))，(B=(-4,-1))，满足题意，同理当(m=-2)时也满足题意，

故(m)的取值范围为([-4，-2])。

• 涉及两个集合的关系时，端点值能否取到是个高频易错点。如已知(B subseteq A)，

①当(A=[-3,1])，(B=[1+2m,m+1])时，应该得到(left{egin{array}{l}{-3leqslant 1+2m}\{m+1leqslant 1}end{array} ight.)，即(min [-2,0]);

②当(A=(-3,1))，(B=(1+2m,m+1))时，应该得到(left{egin{array}{l}{-3leqslant 1+2m}\{m+1leqslant 1}end{array} ight.)，即(min [-2,0]);

③当(A=[-3,1])，(B=(1+2m,m+1))时，应该得到(left{egin{array}{l}{-3leqslant 1+2m}\{m+1leqslant 1}end{array} ight.)，即(min [-2,0]);

④当(A=(-3,1))，(B=[1+2m,m+1])时，应该得到(left{egin{array}{l}{-3< 1+2m}\{m+1<1}end{array} ight.)，即(min (-2,0));