（1）((a+b)(a^5+b^5)ge 4)
分析：证明过程当中你必然得想着，要设法用上已知的条件(a>0，b>0，a^3+b^3=2)，
所以可以这样
((a+b)(a^5+b^5)=a^6+b^6+ab^5+a^5b=(a^3+b^3)^2-2a^3b^3+ab^5+a^5b)
(=4+ab(a^4-2a^2b^2+b^4)=4+ab(a^2-b^2)^2ge 4)
当且仅当(a=b)时取到等号。命题得证。
（2）(a+bleq 2)
分析：(a+bleq 2Longleftrightarrow (a+b)^3leq 2^3)，这样思考是为了用上已知条件。
((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=2+3ab(a+b)leq 2+3 imes (cfrac{a+b}{2})^2 imes(a+b))
(=2+3 imescfrac{(a+b)^3}{4})
故，转化为(cfrac{1}{4}(a+b)^3leq 2)，即((a+b)^3leq 8)，故(a+bleq 2)。命题得证。
（1）当(a=1)时，求不等式(f(x)ge g(x))的解集。
法1：零点分区间讨论法，我们先转化函数(g(x))为分段函数，分别令(x+1=0)和(x-1=0)，得到(x=-1)和(x=1)，这样这两个实数就把数轴分成了三段，分三类情况讨论如下
(g(x)=egin{cases}-x-1-x+1，&xleq -1\x+1-x+1，&-1<x<1\x+1+x-1，&xge 1end{cases})，整理得到(g(x)=egin{cases}-2x，&xleq -1\2，&-1<x<1\2x，&xge 1end{cases})，
当(a=1)时，(f(x)=-x^2+x+4)，则(f(x)ge g(x))就等价转化为以下三个不等式组：
(egin{cases}xleq -1\-x^2+x+4ge -2xend{cases})或者(egin{cases}-1< x< 1\-x^2+x+4ge 2end{cases})或者(egin{cases}xge 1\-x^2+x+4ge 2xend{cases})
分别解得(xleq -1)或(-1<x<1)或(1leq xleq cfrac{sqrt{17}-1}{2})，求其并集得到原不等式的解集为([-1，cfrac{sqrt{17}-1}{2}])。
法2：分别作出两个函数的图像，再求得交点，有图像可以直观的看到原不等式的解集为([-1，cfrac{sqrt{17}-1}{2}])。
（2）若不等式(f(x)ge g(x))的解集包含([-1，1])，求(a)的取值范围。
法1：数形结合法，函数(f(x)=-x^2+ax+4)，对称轴为(x=cfrac{a}{2})，开口向下，由有图可知，要使得不等式(f(x)ge g(x))的解集包含([-1，1])，只需要满足条件(egin{cases}f(-1)ge 2\f(1)ge 2end{cases})，解得(egin{cases}aleq 1\age -1end{cases})，故(a)的取值范围为([-1，1])。
法2：转化为不等式恒成立求解，当(xin [-1，1])时，(g(x)=2)，由题目可知，不等式(f(x)ge 2)的解集包含([-1，1])，即当(xin [-1，1])时，(f(x)ge 2)恒成立，即(-x^2+ax+2ge 0)恒成立，
令(h(x)=-x^2+ax+2)，则只需满足条件(egin{cases}h(-1)ge 0\h(x)ge 0end{cases})，解得(-1leq a leq 1)，故(a)的取值范围为([-1，1])。
法3：恒成立+分离参数法
当转化得到(xin [-1，1])时，(f(x)ge 2)恒成立，即(-x^2+ax+2ge 0)恒成立，接下来准备分离参数：
(1^。)当(x=0)时，代入得到(2ge 0)，即(ain R)；
(2^。)当(x<0)时，由(axge x^2-2)分离参数得到(aleq cfrac{x^2-2}{x}=x-cfrac{2}{x})，令(h(x)=x-cfrac{2}{x})，(h(x))在区间((-1，0))上单调递增，故(h(x)_{min} ightarrow h(-1)=1)即(aleq 1)；
(3^。)当(x>0)时，由(axge x^2-2)分离参数得到(age cfrac{x^2-2}{x}=x-cfrac{2}{x})，令(h(x)=x-cfrac{2}{x})，(h(x))在区间((0，1))上单调递增，故(h(x)_{max} ightarrow h(1)=-1)即(age -1)；
综上所述，由于三种情形下都要成立，故需要取其交集得到(a)的取值范围为([-1，1])。
法1：分段函数法，由上可知，(g(x)=egin{cases}-2x，&xleq -1\2，&-1<x<1\2x，&xge 1end{cases})，
在每一段上求其最小值，就得到整个定义域上的函数(g(x)_{min}=2)；
法2：图像法，作出函数(g(x))的图像，由图像可知，(g(x)_{min}=2)；
法3：绝对值不等式法，(g(x)=|x+1|+|x-1|ge |(x+1)-(x-1)|=2)，
当且仅当(-1leq xleq 1)时取等号。故(g(x)_{min}=2)；
法4：绝对值的几何意义法，如图所示
由数轴图可知，当实数(x)所对应的点(C)位于点(A)(对应实数(-1))和(B)(对应实数(1))之间时 ，(|x+1|+|x-1|=|AC|+|BC|=|AB|=2)；
当实数(x)所对应的点(C)位于点(A)左侧，或者点(B)右侧时 ，(|x+1|+|x-1|=|AC|+|BC|>|AB|=2)；
故我们能直观的知道函数(g(x)=|x+1|+|x-1|)的最小值为(2)。
法1：分段函数法，仿上例完成；(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；
法2：图像法，(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；
法3：绝对值不等式法，由于(||x+1|-|x-1||leq |(x+1)-(x-1)|=2)，故(-2leq |x+1|-|x-1|leq 2)；故(h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2)；
（1）求不等式(f(x)ge 1)的解集；
法1：分段函数法，仿照上面2017全国卷1文科理科第23题法1的解法，我们可以很容易得到分段函数(f(x)=egin{cases}-3,&x<-1\2x-1,&-1leq xleq 2\3&x>2end{cases})，这样不等式(f(x)ge 1)等价于以下三个不等式组：
(egin{cases}x< -1\-3ge1end{cases})或者(egin{cases}-1leq xleq 2\2x-1ge 1end{cases})或者(egin{cases}x>2\3ge1end{cases})
分别解得(xinvarnothing)，或(1leq x leq 2)，或(x>2)，求并集得到解集(xin [1，+infty))。
法2：数形结合图像法，其中红色的是函数(f(x)=|x+1|-|x-2|)图像，蓝色的是函数(g(x)=1)的图像由图像可以直观看出解集为(xin [1，+infty))。
（2）若不等式(f(x)ge x^2-x+m)的解集非空，求(m)的取值范围；
分析：已知不等式解集非空求参数范围类题目，我们常常转化为分离参数+能成立，比如先分离参数得到(mleq f(x)-x^2+x=h(x))，接下来想办法求新构造函数(h(x))的最大值就可以了。
法1：【高考给定解法】(h(x)=f(x)-x^2+x=|x+1-|x-2|-x^2+xleq |x|+1+|x|-2-x^2+|x|=-(|x|-frac{3}{2})^2+cfrac{5}{4}leq cfrac{5}{4})；且当(x=cfrac{3}{2})时，(|x+1|-|x-2|-x^2+x= cfrac{5}{4})，故(m)的取值范围是((-infty， cfrac{5}{4}])。
说明：本解法用到了放缩法，不太好掌握。
法2：将(h(x))转化为分段函数求其最大值。
(h(x)=f(x)-x^2+x=egin{cases}-x^2+x-3,&x<-1\-x^2+x+2x-1,&-1leq xleq 2\-x^2+x+3,&x>2 end{cases} =egin{cases}-(x-frac{1}{2})^2-frac{11}{4},&x<-1\ -(x-frac{3}{2})^2+frac{5}{4},&1leq xleq 2\-(x-frac{1}{2})^2+frac{13}{4},&x>2 end{cases})
故(h(x)_{max}=egin{cases}-3,&x<-1\ frac{5}{4},&1leq x leq 2\1,&x>2end{cases})，故在整个定义域上(h(x)_{max}=cfrac{5}{4})；
故要使得(mleq h(x))的解集非空，必须满足(mleq cfrac{5}{4})，即(m)的取值范围是((-infty， cfrac{5}{4}])。
柯西不等式：((a^2+b^2)(c^2+d^2)ge (ac+bd)^2，a,b,c,din R)；
绝对值不等式：(||a|-|b||leq |a+b|leq |a|+|b|)；
分析：(2^c=2^a+2^bge 2sqrt{2^acdot 2^b})，
即(2^cge 2sqrt{2^{a+b}})
即(2^{2c}ge 2^2cdot 2^{a+b}=2^{2+a+b})，
则(a+b-2cleq -2)，当且仅当(a=b，c=a+1)时取到。
故((a+b-2c)_{max}=-2)。
反思：本题目还可以考虑两边同除以(2^c) ，变形为(2^{a-c}+2^{b-c}=1)。
则(1ge 2sqrt{2^{a-c}2^{b-c}})，即(1ge 2sqrt{2^{a+b-2c}})
即(1ge 2^2cdot 2^{a+b-2c})，即(2^{-2}ge 2^{a+b-2c})
即(a+b-2cleq 2c)，其余同上法。
(1)当(a=1)时，求不等式(f(x)ge 0)的解集。
分析：分区间讨论法，解集为([-2，3])，详解过程略。
(2)若(f(x)leq 1)，求(a)的取值范围。
分析：本题目没有给定解集(D)，却需要求参数(a)的取值范围，那我们可以这样想，
对于未知解集(D)内的任意一个(x)，必然满足(f(x)leq 1)，即对解集(D)而言，不等式(f(x)leq 1)恒成立，
即(5-|x+a|-|x-2|leq 1)恒成立，即(|x+a|+|x-2|ge 4)恒成立，
这样难点就转换为求((|x+a|+|x-2|)_{min})，
又(|x+a|+|x-2|ge |(x+a)-(x-2)|=|a+2|)，
即((|x+a|+|x-2|)_{min}=|a+2|)，
即(|a+2|ge 4)，则(a+2ge 4)或(a+2leq -4)
解得(aleq -6)或(age 2)。
分析：由柯西不等式可知，((x^2+y^2+z^2)cdot (2^2+3^2+1^2)ge (2cdot x+3cdot y+1cdot z)^2)
当且仅当(cfrac{x}{2}=cfrac{y}{3}=cfrac{z}{1})时取到等号；
即(14(x^2+y^2+z^2)ge 49)，即(x^2+y^2+z^2ge cfrac{49}{14})；
（1）求不等式(f(x)<8)的解集；
提示：分区间讨论法，转化为分段函数不等式求解，解集((-3，1))。
（2）若(a>0)，(b>0)，且方程(f(x)=3a+2b)有且仅有一个实数根，求(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值；
分析：由（1）可知，(f(x)=left{egin{array}{l}{-3x-1，xleqslant -2}\{x+7，-2<x<3}\{3x+1，xgeqslant 3}end{array} ight.)
故函数(f(x))在((-infty，-2))上单调递减，在([-2，+infty))上单调递增，
由于方程(f(x)=3a+2b)有且仅有一个实数根，故可知(3a+2b=f(-2)=5)，
[备注：此时(3a+2b)理解为一个整体，比如(3a+2b=m)，即方程(f(x)=m)有且仅有一个根，即函数(y=f(x))与(y=m)仅有一个交点。]
即((2a+b)+(a+b)=5)，且(a>0)，(b>0)，求(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值；
(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b}=cfrac{1}{5}(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b}) imes 5)(cfrac{1}{5}(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})[(2a+b)+(a+b)])
(=cfrac{1}{5}(9+4+cfrac{9(a+b)}{2a+b}+cfrac{4(2a+b)}{a+b})geqslant cfrac{13}{5}+cfrac{1}{5} imes 2sqrt{frac{9(a+b)}{2a+b} imes frac{4(2a+b)}{a+b}})(=cfrac{13}{5}+cfrac{12}{5}=5)
当且仅当(cfrac{9(a+b)}{2a+b}=cfrac{4(2a+b)}{a+b})，即(a=b=1)时取等号。
故(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值为(5).
(1).解关于(x)的不等式(f(x)＋a－1>0(ain R))；
分析：不等式(f(x)+a-1>0)，即(|x-2|+a-1>0)，即(|x-2|>1-a)，
当(a＝1)时，解集为(x eq 2)，即((-infty，2)cup(2，＋infty))；
当(a>1)时，解集为全体实数(R)；
当(a<1)时，由(|x－2|>1－a)可得，(x－2>1－a)或(x－2<a－1)，则得到(x>3－a)或(x<a＋1)，
故解集为((-infty，a＋1)cup(3－a，+infty))．
(2).若函数(f(x))的图象恒在函数(g(x))图象的上方，求(m)的取值范围．
分析：(f(x))的图象恒在函数(g(x))图象的上方，即为(|x－2|>－|x＋3|＋m)对任意实数(x)恒成立，即(|x－2|＋|x＋3|>m)恒成立．
又对任意实数(x)恒有(|x－2|+|x＋3|geqslant |(x－2)-(x＋3)|=5)，于是得(m<5)，
即(m)的取值范围是((-infty，5))．
(1).当(a=1)时，求不等式(f(x)geqslant 5)的解集；
分析：用分区间讨论法，求解得到解集为({xmid xleqslant -3或xgeqslant 2}).
(2).若(f(x)leqslant 3-x)的解集为(A)且([-4，-2])是集合(A)的子集，求(a)的取值范围。
分析：由题意可知，(f(x)leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(|ax-1|-x-2leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，即(|ax-1|leqslant 5)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(-4leqslant axleqslant 6)在区间([-4，-2])上恒成立，由于(xin [-4，-2])
则(left{egin{array}{l}{-4leqslant -4aleqslant 6}\{-4leqslant -2aleqslant 6}end{array} ight.quad) 即(left{egin{array}{l}{-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 2}end{array} ight.)，解得即(-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1)
故(a)的取值范围是([-cfrac{3}{2}，1]).
