分段函数

相关概念

分段函数是一类比较特殊的函数。

给出方式

• 直接给出分段函数；^[1]

• 间接给出，需要利用奇偶性求解；^[2]

• 间接给出，需要化简完善，有难度的情形；^[3]

• 用程序框图给出：^[4]

• 用新定义形式给出；

• 用绝对值的形式给出；

研究内容

• 分段函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；

• 常多见两段式分段函数，组成分段函数的两部分多为一次、二次函数，指数函数、对数函数、幂函数等；

常考题型

• 已知分段函数的单调性，求参数的取值范围

例1已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。

分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 ① \ &a>1 ②\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}③end{cases})；即(egin{cases}&a<3 \ &a>1 \ &age cfrac{9}{4}end{cases})

解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域(R)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

对照例已知(a>0)，数列({a_n})满足(a_n = egin{cases} &(3-a)n-3 &nleq 7 \ &a^{n-6} &n>7 end{cases})，数列({a_n})是单调递增数列，求(a)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，(egin{cases} 3-a>0，\ a>1，\ (3-a)7-3<a^{8-6}，end{cases})，解得：(ain(2，3))

感悟反思：1、本题目和上例非常类似，但是又不一样，原因是数列是特殊的函数，所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样，而且不能取等号。

2、如果是一般的函数(f(x))，则比较点(A)和点(C)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点(A)和点(B)的函数值的大小关系；

• 已知分段函数的值域，求参数的取值范围

例2【2017抚州模拟】【值域是(R)】已知函数(f(x)=egin{cases}(1-2a)x+3a，&x<1\2^{x-1}&xge 1end{cases})的值域是R，则实数(a)的取值范围是多少？

分析：由于(xge 1)，(f(x)=2^{x-1}in[1，+infty))，由函数的值域是R ，

则(egin{cases}1-2a>0\(1-2a)cdot 1+3age 1end{cases})，解得(ain[0，cfrac{1}{2}))。

例3【单调性&值域是R】【(2017(cdot)山东烟台二中月考】若分段函数(f(x)=egin{cases}(1-a)x+2a，x<1\lnx，xge 1end{cases})的值域为R，则(a)的取值范围是_________。

分析：先做出分段函数的第二段，当做第一段时，会考虑斜率(1-a)，

当做射线(y=(1-a)x+2a(x<1))的图像时，(1-aleq 0)都不符合题意，只有(1-a>0)才有可能符合题意。

由于要求函数的值域为R，故要求分段函数的两段图像在(y)轴上的射影要占满(y)轴，

然后将其转化为文字语言，即左端函数的最大值必须大于或等于右端函数的最小值，

再转化为数学语言，即((1-a)cdot 1+2age ln1)，

即需要满足(egin{cases}1-a>0\(1-a)cdot 1+2age ln1end{cases})，

解得(-1leq a<1)；即(ain[-1，1))。

说明：注意三种数学语言的顺利转化。

• 由分段函数方程求解参数的值

例4【求解分段函数方程】已知实数(a eq 0)，函数(f(x)=egin{cases}2x+a,&x< 1\-x-2a,&xge 1 end{cases}).若(f(1-a)=f(1+a))，求(a)的值。

解析：分段函数的问题一般都需要分类讨论来处理；

当(a>0)时，(1-a<1,1+a>1)，

由(f(1-a)=2(1-a)+a=f(1+a)=-(1+a)-2a)，解得(a=-cfrac{3}{2})，不符，舍去；

当(a<0)时，(1-a>1,1+a<1)，

由(f(1-a)=-(1-a)-2a=f(1+a)=2(1+a)+a)，解得(a=-cfrac{3}{4}),符合；

综上，(a=-cfrac{3}{4}).

解后反思：仿此方法思路，也可以求解分段函数方程。

• 求解分段函数不等式

例5【由图像给出单调性】已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，&xge0\4x-x^2，&x<0end{cases})，若(f(2-a^2)>f(a))，求实数(a)的取值范围。

分析：自行作图，结合分段函数(f(x))的大致图像可知，

(f(x))在(R)上单调递增，故由(f(2-a^2)>f(a))，

可直接脱掉符号(f)，得到(2-a^2>a)，解得(-2<a<1).

例6已知函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} cfrac{1}{2}x+1 &xleq 0 \ -(x-1)^2 &x>0end{cases})，使得函数(f(x)ge -1)成立的(x)的取值范围。

分析：此类题目是求解分段函数不等式，关键是等价转化。

解析：原不等式(Longleftrightarrow egin{cases} &xleq 0 \ &cfrac{1}{2}x+1ge -1 end{cases})或(egin{cases} &x> 0 \ &-(x-1)^2ge -1 end{cases})

解得(egin{cases} & xleq 0 \ &xge -4end{cases})或(egin{cases} &x> 0 \ &0 leq x leq 2end{cases})，

故(xin [-4，2])。

• 由分段函数给出函数的单调性

例7【由图像给出单调性】已知函数(f(x)=egin{cases}-1,&xge0\x^2-1,&x<0end{cases}),则满足不等式(f(3-x^2)<f(2x))的取值范围是（）。

$A.[-3，0)$ $B.(-3，0)$ $C.(-3，1)$ $D.(-3，-sqrt{3})$

分析：做出函数的图像，由图像可知，

原不等式等价于(egin{cases}3-x^2ge0\2x<0end{cases})或(egin{cases}3-x^2<0\2x<0\3-x^2>2xend{cases}).

解得(-sqrt{3}leq x<0)或(-3<x<-sqrt{3}),故(-3<x<0)，选(B)。

典例剖析

例8已知函数(f(x)=egin{cases}ax^2+1&xge 0\(a^2-1)e^{ax}&x<0end{cases})在((-infty，+infty))上单调，求参数(a)的取值范围。

分析：当函数(f(x))在R上单调递增时，则需要每一段单调递增且还要保证转折点处的单调性。

故需要满足(egin{cases}a>0\(a^2-1)>0\acdot 0^2+1ge (a^2-1)cdot e^{acdot 0}end{cases})，

解得(1<aleq sqrt{2})；

当函数(f(x))在R上单调递减时，

需要满足(egin{cases}a<0\(a^2-1)>0\acdot 0^2+1leq (a^2-1)cdot e^{acdot 0}end{cases})，

解得(aleq -sqrt{2})；

综上所述，(a)的取值范围是((-infty，-sqrt{2}]cup(1，sqrt{2}])；

解后反思：

1、第一种情形，当(a>0)时，为什么必须(a^2-1>0)才能保证函数(y=(a^2-1)e^{ax})的单增性？

当(xge 0)，(a>0)时，函数(y=ax)单增，则(y=e^{ax})单增，

此时若要(y=(a^2-1)e^{ax})的单增，则必须(a^2-1>0)；

2、第二种情形，当(a<0)时，为什么还是必须(a^2-1>0)才能保证函数(y=(a^2-1)e^{ax})的单减性？

当(xge 0)，(a<0)时，函数(y=ax)单减，则(y=e^{ax})单减，

此时若要(y=(a^2-1)e^{ax})的单减，则必须(a^2-1>0)；

否则就会单调递增。

例9【变式对照题】【2017(cdot)山东烟台二中月考改编】若分段函数(f(x)=egin{cases}(1-a)x+2a，x<1\lnx，xge 1end{cases})在R上单调递增，则(a)的取值范围是_________。

分析：第二段单调递增已经保证，只需要第一段单调递增，(1-a>0)

且在断点处满足大小关系即可，此时左端函数的最大值必须小于或等于右端函数的最小值，

即((1-a)cdot 1+2aleq ln1)，即图像②和③是满足题意的，

故需要满足(egin{cases}1-a>0\(1-a)cdot 1+2aleq ln1end{cases})，

解得(aleq -1)，即(ain (-infty，-1])。

• 分段函数的实际应用[最值]

例10【求解分段函数的最值，应用问题】

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产(x)千件该产品需要另外投入的生产成本为(G(x))(单位：万元)，当年产量不足80千件时，(G(x)=cfrac{1}{3}x^2+10x)；当年产量不小于80千件时，(G(x)=51x+cfrac{10000}{x}-1450)；已知每件产品的售价为0.05万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是多少？

分析：本题目的实质是求解分段函数的最大值，但是还有几个难点：其一单位的统一，其二根据常识列出年利润的分段函数，其三在每一段上求最大值，最后比较得到函数在整个定义域上的最大值。其中(“利润=销售量 imes 价格-生产成本-固定成本”)

解析：由题目得到生产成本为(G(x)=egin{cases} cfrac{1}{3}x^2+10x &x<80 \ 51x+cfrac{10000}{x}-1450 &xge 80end{cases}).

每千件的价格为(1000 imes 0.05=50(万元))，

每(x)千件的销售额为(1000 imes 0.05x=50x(万元))，

设年利润函数为(y)，

则(y=f(x)=egin{cases} 50x-(cfrac{1}{3}x^2+10x)-250， &x<80 \ 50x-(51x+cfrac{10000}{x}-1450)-250 &xge 80end{cases}).

接下来在每一段上分别求函数的最大值，

当(x<80)时，(f_1(x)= 50x-(cfrac{1}{3}x^2+10x)-250=-cfrac{1}{3}(x-60)^2+950， x<80)，

故当(x=60 in (0，80))时，([f_1(x)]_{max}=950(万元))

当(xge 80)时，(f_2(x)= 50x-(51x+cfrac{10000}{x}-1450)-250=1200-(x+cfrac{10000}{x})ge 1200-2 imes 100=1000， xge 80)，

故当(x=100 in (80，+infty))时，([f_2(x)]_{max}=1000(万元)>[f_1(x)]_{max}=950(万元))，

故所获年利润的最大值1000万元。

备注：若某一段上的函数为三次多项式函数，可以利用导数求解其最大值；

例11设函数(f(x)=egin{cases}x^2+x,&x<0\-x^2,&xge 0 end{cases})，若(f(f(a))leq 2)，则实数(a)的取值范围是_____.

法1：若能将(f(a))理解成已知函数的(x)，

则可以将(f(f(a))leq 2)等价转化为以下的两个不等式组：

(egin{cases}&f(a)<0\&f^2(a)+f(a)leq 2 end{cases})

或者 (egin{cases}&f(a)ge0\&-f^2(a)leq 2 end{cases})

分别解得：(-2leq f(a)<0)或(f(a)ge 0)，故(f(a)ge -2)；

到此问题转化为已知(f(x)=egin{cases}x^2+x,&x<0\-x^2,&xge 0 end{cases})，(f(a)ge -2)，

求实数(a)的取值范围，这就容易多了。

再次转化为(egin{cases}&a<0\&a^2+age -2 end{cases})

或者 (egin{cases}&age0\&-a^2ge -2 end{cases})

分别解得：(a<0)或(0leq aleq sqrt{2})，故实数(a)的取值范围为((-infty，+sqrt{2}])。

解后反思：本题经过两次抽丝剥茧般的处理，第一次的结果得到(f(a)ge -2)，

第二次的结果得到(ain (-infty，+sqrt{2}])。

法2：图像法

自行做出函数图像，结合图像可知，

要使得(f(f(a))leq 2)，则必须(f(a)ge -2)，

这时就转化为分段函数不等式问题了。

(f(a)ge -2)等价于以下两个不等式组：

(egin{cases}&a<0 \&a^2+age -2end{cases})

或者(egin{cases}&age 0 \&-a^2ge -2end{cases})。

解得(a<0)或者(0leq aleq sqrt{2})，故(ain(-infty，sqrt{2}])。

例12【2018凤翔中学高三文科数学冲刺模拟第10套第8题】已知(f(x)=egin{cases}1，&xin[0，1]\x-3，&x otin[0，1]end{cases})，则使得(f(f(x))=1)成立的(x)的取值范围是【】

$A.[0，1]$ $B.[0，1]cup{7}$ $C.[0，1]cup [3，4]$ $D.[0，1]cup[3，4]cup{7}$

分析：本题目属于求解分段函数方程，可以将(f(x))这个整体视为已知中的(x)，则原分段函数方程等价于

第一种情形，(0leq f(x)leq 1)且(f(x)=1)；或第二种情形，(f(x)-3=1)且(f(x) otin[0，1])，

其中第一种可化简为(0leq f(x)leq 1)，再等价转化为(egin{cases}xin[0，1]\f(x)=1end{cases})或(egin{cases}x otin[0，1]\0leq x-3leq 1end{cases})

解得(0leq xleq 1)或(3leq xleq 4)；

第二种可化简为(f(x)=4)，再等价转化为(egin{cases}xin[0，1]\1=4end{cases})或(egin{cases}x otin[0，1]\x-3=4end{cases})，解得(x=7)；

综上所述，(x)的取值范围是([0，1]cup[3，4]cup{7})，故选(D)。

例13【2015山东高考】已知函数(f(x)=egin{cases}3x-1&x<1 \2^x&xge 1end{cases})，且满足(f(f(a))=2^{f(a)})，求(a)的取值范围。

法1：如果将(f(a))视为一个整体，则结合已知条件可知，必有(f(a)ge 1)；

这时题目转化为给定(f(x)=egin{cases}3x-1&x<1 \2^x&xge 1end{cases})，已知(f(a)ge 1)，

等价转化为以下两个不等式组：

(egin{cases}&a<1 \&3a-1ge 1end{cases})

或者(egin{cases}&age 1 \&2^age 1end{cases})。

解得(cfrac{2}{3}leq a<1)或者(age 1)，

故(ain[cfrac{2}{3}，+infty))。

法2：分以下三种情况讨论(想想为什么？)：

1、当(a<cfrac{2}{3})时，(f(a)=3a-1<1)，

则此时(f(f(a))=3(3a-1)-1=9a-4)，(2^{f(a)}=2^{3a-1})，

不满足(f(f(a))=2^{f(a)})；验证

2、当(cfrac{2}{3}leq a<1)时，(f(a)=3a-1ge1)，

则此时(f(f(a))=2^{3a-1})，(2^{f(a)}=2^{3a-1})，

满足(f(f(a))=2^{f(a)})，故(cfrac{2}{3}leq a<1)；

3、当(age 1)时，(f(a)=2^age1)，则此时(f(f(a))=2^{2^a})，(2^{f(a)}=2^{2^a})，

满足(f(f(a))=2^{f(a)})，故(age 1)；

终上所述，故(ain[cfrac{2}{3}，+infty))。

例14例7【求解分段函数方程】【2016第三次全国大联考第15题】已知(f(x))是定义在R上的奇函数，且当(x<0)时，(f(x)=2x-1)，若(f(a)=3)，求实数(a)的值。

分析：先由奇偶性求得(x>0)时，(f(x)=2x+1)，

即得到函数的解析式为(f(x)=egin{cases}2x-1&x<0\0&x=0\2x+1&x>0end{cases})，且已知(f(a)=3)，求(a)的值，

等价转化为三个不等式组 (egin{cases}a<0\2a-1=3end{cases})，或(egin{cases}a=0\0=3end{cases})，或(egin{cases}a>0\2a+1=3end{cases})，

解得(a=1)。

例15【求解分段函数不等式】【2016第三次全国大联考第11题】已知函数(f(x)=egin{cases}ln^2x+alnx+b&x>0\e^x+cfrac{1}{4}&xleq 0end{cases})，且(f(e)=f(1))，(f(e^2)=f(0)+cfrac{11}{4})，则不等式(f(lnx)ge 1)的解集是什么？

分析：本题目先由(f(e)=f(1))，(f(e^2)=f(0)+cfrac{11}{4})解得常数(a=-1，b=2)，

到此题目转化为给定分段函数(f(x)=egin{cases}ln^2x-lnx+2&x>0\e^x+cfrac{1}{4}&xleq 0end{cases})，

已知(f(lnx)ge 1)，求不等式的解集。

等价转化为两个不等式组：(egin{cases}lnx>0\ln^2(lnx)-ln(lnx)+2ge1end{cases}①)

或(egin{cases}lnxleq 0\e^{lnx}+cfrac{1}{4}ge 1end{cases}②)；

解①中的第二个不等式，令(ln(lnx)=t)，则不等式变为(t^2-t+1ge 0)，

又(t^2-t+1ge 0)恒成立，故(lnx>0)满足此式，

即①的结果是(lnx>0)，解得(x>1)；

解②得到(cfrac{3}{4}leq x leq 1)，

综合以上得到(f(lnx)ge 1)的解集({xmid xge cfrac{3}{4}})。

例16【利用分段函数图像解不等式】若函数(f(x)=cfrac{x+1}{|x|+1}，xin R)，求解不等式(f(x^2-2x)<f(3x-4))的解集。

分析：先分类讨论，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，

当(xge 0)时，(f(x)=1) ，当(x<0)时，(f(x)=cfrac{x+1}{-x+1}=-1-cfrac{2}{x-1})，

即(f(x)=egin{cases} 1 &xge 0 \ -1-cfrac{2}{x-1} &x<0end{cases})，

自行做出函数图像，课件

则由图可知，原不等式等价于(egin{cases} &x^2-2x< 0 \ &3x-4ge 0end{cases})

或者(egin{cases} &x^2-2x< 3x-4\ &3x-4leq 0end{cases}Longrightarrow) (egin{cases} &0<x< 2 \ &xge cfrac{4}{3} end{cases})

或者(egin{cases} &1<x< 4 \ &xleq cfrac{4}{3}end{cases})，

即(cfrac{4}{3}leq x <2或1<xleq cfrac{4}{3})，综合得到(xin (1，2))。

例17【2017全国卷3文科第16题理科第15题高考真题】设函数(f(x)=egin{cases}x+1,&xleq 0\2^x,&x>0end{cases})，则满足(f(x)+f(x-dfrac{1}{2})>1)的(x)的取值范围是_________。

法1：由题意可知，

由于(f(x)=egin{cases}x+1,&xleq 0\2^x,&x>0end{cases})，

则(f(x-frac{1}{2})=egin{cases}x+frac{1}{2},&xleq frac{1}{2}\2^{x-frac{1}{2}},&x>frac{1}{2}end{cases})，

对不等式分(xleq 0)和(0<xleq cfrac{1}{2})和(x>cfrac{1}{2})三段讨论如下，

当(xleq 0)时，原不等式为(x+1+x+cfrac{1}{2}>1)，

解得(x>-cfrac{1}{4})，即(-cfrac{1}{4}<xleq 0)；

当(0<xleq cfrac{1}{2})时，原不等式为(2^x+x+cfrac{1}{2}>1)，即(2^x>cfrac{1}{2}-x)，

此时为超越不等式，需要借助图像求解，做出函数图像，由图像可知，显然成立；

当(x>cfrac{1}{2})时，原不等式为(2^x+2^{x-cfrac{1}{2}}>1)，即(2^{x-cfrac{1}{2}}>1-2^x)，

此时为超越不等式，需要借助图像求解，做出函数图像，由图像可知，显然成立；

综上可知，(x>-cfrac{1}{4})。

解后反思：代数不等式往往可以用数的方法求解，但超越不等式就不能用常规的方法求解，此时可以考虑从形入手，借助函数的图像求解。

法2：由于(f(x)=egin{cases}x+1,&xleq 0\2^x,&x>0end{cases})，

则(f(x-frac{1}{2})=egin{cases}x+frac{1}{2},&xleq frac{1}{2}\2^{x-frac{1}{2}},&x>frac{1}{2}end{cases})，

故分(xleq 0；0<xleq cfrac{1}{2}、x> cfrac{1}{2})三段做等价转化如下：

(egin{cases}&xleq 0\&x+1+x+frac{1}{2}>1end{cases}(1)；)

或者(egin{cases}&0<xleq frac{1}{2}\&2^x+x+frac{1}{2}>1end{cases}(2)；)

或者(egin{cases}&x>frac{1}{2}\&2^x+2^{x-frac{1}{2}}>1end{cases}(3)；)

解(1)得到(-cfrac{1}{4}<xleq 0)；

解(2)得到(0<xleq cfrac{1}{2})，其中求解不等式(2^x>cfrac{1}{2}-x)时需要用到图像，

做出图像可以看到，其解集为(x>x_0(x_0为负))，

故和对应的小前提求交集得到(0<xleq cfrac{1}{2})；

解(3)得到(x>cfrac{1}{2})，其中求解(2^x+2^{x-frac{1}{2}}>1)时，

先验证对应的小前提(x>cfrac{1}{2})是否满足不等式，

若满足就不需要解了，若不满足再动手解不等式。

本题验证是满足的。故求交集得到(x>cfrac{1}{2})，

综上所述，原不等式的解集是((-cfrac{1}{4}，+infty))。

法3：(简洁解法)待补充

难点：函数图像的交点坐标的求解，原问题转化为(f(x)=1-f(x-cfrac{1}{2}))，

则(x+1=1-(x-cfrac{1}{2}+1))，解得(x=-cfrac{1}{4})，

由图像可得不等式的解集为((-cfrac{1}{4}，+infty))。

例18【2016(cdot)青岛模拟】函数(f(x)=|x^2-a|)在区间([-1，1])上的最大值(M(a))的最小值是()

$A.cfrac{1}{4}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.cfrac{1}{5}$

分析：本题目自然是先要求出最大值(M(a))，然后再求其最小值。结合函数(y=x^2-a)的函数图像，先分类如下：

当(aleq 0)时，自己做出函数图像可知最大值(M(a)=|1-a|=1-a)，

当(a>0)时，最大值(M(a)=max{a，|1-a|})，

我们再令(a>|1-a|)，两边平方，得到(a>cfrac{1}{2})，

即(a>cfrac{1}{2})时，(M(a)=a)，

当(0<a<cfrac{1}{2})时，(M(a)=|1-a|=1-a)，

将最大值函数(M(a))作以整理

得到分段函数(M(a)=egin{cases}1-a，&aleq cfrac{1}{2}\a，&a>cfrac{1}{2}end{cases})，

接下来求分段函数(M(a))的最小值即可。

利用图像或者单调性都可以得到(M(a)_{min}=cfrac{1}{2})，故选(C).

例19【2017(cdot)凤翔中学高三文科第二次月考第16题】设函数(f(x)=egin{cases}2e^{x-1}，&x<2\log_3;(x^2-1)，&xge 2end{cases})，则不等式(f(x)>2)的解集是______________.

分析：原不等式等价于以下两个不等式组(egin{cases}x<2\2e^{x-1}>2end{cases})

或者(egin{cases}xge2\log_3;(x^2-1)>2end{cases})，

分别解得(1<x<2)或(x>sqrt{10})，

故解集为((1，2)cup(sqrt{10}，+infty))。

例20【分段函数的应用】如图所示，函数(y=f(x))的图像由两条射线和三条线段组成，若对(forall xin R)，(f(x)>f(x-2))恒成立，则正实数(a)的取值范围是_______。

分析：此题目的求解关键是理解图像和给定的条件对(forall xin R)，(f(x)>f(x-2))恒成立，

其中自变量(x)和(x-2)相隔2个单位且满足(x>x-2)，

由(f(x)>f(x-2))可知，符合题目的自变量的取值须差值在2个单位之内。

解：由图像可得(a>0)，(f(4a)=a)，(f(-4a)=-a)，

对(forall xin R)，(f(x)>f(x-2))恒成立，

则须满足条件(egin{cases}4a-(-2a)<2\2a-(-4a)<2end{cases})，

解得(a<cfrac{1}{3})，

故正实数(a)的取值范围是((0，cfrac{1}{3}))。

例20-变式1如上图所示，函数(y=f(x))的图像由两条射线和三条线段组成，若对(forall xin R)，(f(x)>f(x-1))恒成立，则正实数(a)的取值范围是_______。

分析：由图像可得(a>0)，(f(4a)=a)，(f(-4a)=-a)，

对(forall xin R)，(f(x)>f(x-1))恒成立，

则须满足条件(egin{cases}4a-(-2a)<1\2a-(-4a)<1end{cases})，

解得(a<cfrac{1}{6})，

故正实数(a)的取值范围是((0，cfrac{1}{6}))。

例20-变式2如上图所示，函数(y=f(x))的图像由两条射线和三条线段组成，若对(forall xin R)，(f(x)>f(x-12asinphi))恒成立，其中(a>0，0<phi<cfrac{pi}{2})，则(phi)的最小值是_______。

分析：由(a>0，0<phi<cfrac{pi}{2})，则(sinphiin (0，1))，

故(x>x-12asinphi)，对(forall xin R)，(f(x)>f(x-12asinphi))成立，

则有(4a-(-2a)leq x-(x-12asinphi)=12asinphi)，

故(sinphige cfrac{1}{2})，故(phige cfrac{pi}{6})，

故(phi_{min}=cfrac{pi}{6})。

• 和分段函数有关的分离参数的技巧；

如函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，xleq 0\xlnx，x>0end{cases})，(g(x)=kx-1)，若方程(f(x)-g(x)=0)在(xin(-2，2))有三个实根，则实数(k)的取值范围是【】

$A(1，ln2sqrt{e})$ $B(ln2sqrt{e}，cfrac{3}{2})$ $C(cfrac{3}{2}，2)$ $D(1，ln2sqrt{e})cup(cfrac{3}{2}，2)$

分析：显然(x=0)不是方程(f(x)-g(x)=0)的根，故可变形为(k=cfrac{f(x)+1}{x})，

设(phi(x)=cfrac{f(x)+1}{x}=egin{cases}x+cfrac{1}{x}+4，x<0\cfrac{1}{x}+lnx，x>0end{cases})，即(k=phi(x))在(xin(-2，2))有三个实根，

用导数方法研究函数(phi(x))的单调性，做出其图像；

由图像可得，要使得函数(y=k)与函数(y=phi(x))有三个交点，则(kin (1，ln2sqrt{e})cup(cfrac{3}{2}，2))

例21【已知分段函数不等式求参数的取值范围】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log_2x， x>0}\{log_{frac{1}{2}}(-x)，x<0}end{array} ight.)，若(f(a)>f(-a))，求(a)的取值范围。

分析：常规法，针对(a)分类讨论如下，

①当(a>0)时，(-a<0)，原不等式等价于(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a>log_{frac{1}{2}}a}end{array} ight.)

即(left{egin{array}{l}{a>0}\{a>frac{1}{a}}end{array} ight.)

解得(a>1)；

②当(a<0)时，(-a>0)，原不等式等价于(left{egin{array}{l}{a<0}\{log_{frac{1}{2}}(-a)>log_2(-a)}end{array} ight.)

即(left{egin{array}{l}{a<0}\{cfrac{1}{-a}>-a}end{array} ight.)

解得(-1<a<0)；

综上可得，(ain (-1，0)cup(1，+infty))。

例22【2019届高三理科函数及其表示课时作业第18题】设函数(f(x)=left{egin{array}{l}{sqrt{x}，0<x<1}\{2(x-1)，xge 1}end{array} ight.)，若(f(a)=f(a+1))，求(f(cfrac{1}{a}))的值_________。

分析：当(0<a<1)时，(a+1>1)，

则(f(a)=f(a+1))变形为(sqrt{a}=2[(a+1)-1])，即(sqrt{a}=2a)，

解得(a=0)(舍去)或(a=cfrac{1}{4})；

当(age 1)时，(a+1ge 2)，

则(f(a)=f(a+1))变形为(2(a-1)=2[(a+1)-1])，解得(ain varnothing)，

综上，(a=cfrac{1}{4})，

故有(f(cfrac{1}{a})=f(4)=2(4-1)=6)

例23【2019届宝鸡中学高三文科第一次月考第16题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2-4ax+2，x<1}\{log_ax，xge 1}end{array} ight.)，在((-infty，+infty))上单调递减，求实数(a)的取值范围。

分析：在第一段上，(y=x^2-4ax+2=(x-2a)^2+2-4a^2)，

要使得在第一段上单调递减，则必须(2age 1)①；

要使得在第二段上单调递减，必须(0<a<1)②；

同时，在断点处必须满足(1^2-4acdot 1+2ge log_a1)，即(3-4age 0)③，

联立①②③，可得(ain [cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4}])。

例24【学生问题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log_2(x^2+x+a)，xge 1}\{1-x^2，x<1}end{array} ight.)的值域为(R)，则常数(a)的取值范围是【】

$A[0，+infty)$ $B(-2，-1]$ $C(-2，0]$ $D(-infty，0]$

分析：要保证第一段函数存在，则(g(x)=x^2+x+a=(x+cfrac{1}{2})^2+a-cfrac{1}{4})，其对称轴为(x=-cfrac{1}{2})，则在([1，+infty))上单调递增，

故(g(x)_{min}=g(1)=1+1+a=2+a)，要使函数有意义，则(2+a>0)①；

又第二段函数的最小值要小于或等于第一段的最大值，则(2+aleq 1)②；

由①②可知，则(-2<aleq -1)，故选(B)。

例25设分段函数 (f(x)=egin{cases} 2x，&xleq 0 \ log_2^{;;x} ，&x>0 end{cases})若对任意给定的(tin (1，+∞))，都存在唯一的(xin R)，满足(f(f(x))=2a^2t^2+at，)则正实数(a)的最小值是【】

$A.2$ $B.cfrac{1}{2}$ $C.cfrac{1}{4}$ $D.cfrac{1}{8}$

【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的(x)满足条件，结合(f(x))的值域范围或者图象，易知只有在(f(x))的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当(f(x)>2)时，才会存在一一对应．

【解答】解：根据(f(x))的函数，我们易得出其值域为(R，)

又∵(f(x)=2x)，((x≤0))时，值域为((0，1])；(f(x)=log_2^x)，((x＞0))时，其值域为(R)

∴可以看出(f(x))在(（0，1])上有两个解，

要想(f(f(x))=2a^2t^2+at，)在(tin（1，+∞）)上只有唯一的(xin R)满足，

必有(f(f(x))＞1) （因为(2a^2t^2+at＞0)），

所以：(f(x)＞2，)解得：(x＞4)，

当 (x＞4)时，(x)与(f(f(x)))存在一一对应的关系，

∴(2a^2t^2+at＞1，t∈（1，+∞），)且(a＞0，)

所以有：((2at-1)(at+1)＞0，)解得：(t＞cfrac{1}{2a})或者(t＜-cfrac{1}{a})（舍去），

∴(cfrac{1}{2a} leq 1)，∴(age cfrac{1}{2})，故选：(B)

解后反思：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把(2a^2t^2+at)当作是一个数，然后确定数的大小后再把它作为一个关于(t)的函数．

延伸阅读

1、由抽象函数不等式求参数的取值范围；

---

1. 函数(f(x)=egin{cases}2x+a,&x< 1\-x-2a,&xge 1 end{cases}). ↩︎

2. 已知奇函数(f(x))满足(x>0)时，(f(x)=2^x)，则利用奇偶性可知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^x，x>0}\{0，x=0}\{-2^{-x}，x<0}end{array} ight.) ↩︎

3. 已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|，xleq 2}\{(x-2)^2，x>2}end{array} ight.,) 记(g(x)=3-f(2-x))，求函数(y=g(x))的解析式。
   分析：由(f(x)=left{egin{array}{l}{2-|x|，xleq 2}\{(x-2)^2，x>2}end{array} ight.,)得到
   (f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，2-xleq 2}\{(2-x-2)^2，2-x>2}end{array} ight.,)
   即(f(2-x)=left{egin{array}{l}{2-|2-x|，xge 0}\{x^2，x<0}end{array} ight.，)
   再分类讨论去掉绝对值符号得到
   (f(2-x)=left{egin{array}{l}{4-x，x>2}\{x，0leq xleq 2}\{x^2，x<0}end{array} ight.，)
   故当(x<0)时，(g(x)=3-x^2)，
   当(0leq xleq 2)时，(g(x)=3-x)，(f(x)=2-x)，
   当(x>2)时，(g(x)=x-1)，(f(x)=(x-2)^2)，
   故函数(g(x)=left{egin{array}{l}{3-x^2，x<0}\{3-x，0leq xleq 2}\{x-1，x>2}end{array} ight.) ↩︎

4. 注意以下的程序框图的作用；
   其实质是给出分段函数：(f(x)=egin{cases}3-x,&x<-1\x^2,&-1leqslant xleqslant 1\x+1,&x>1end{cases}). ↩︎