变换作图中的常用模板函数

前言

体会常用模板函数在变换作图中的重要性；提起函数图像的作图方法，估计好多学生会一口锁定描点法，其实高中更多使用的是变换作图法，尤其是在分秒必争的高考中。要想在很短的时间内，做出一个函数的大致草图，缺乏平时的对应训练几乎是不可能的。因此我们需要研究和总结函数图像的常用模板。

体会感悟

比如我们常常把函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})作为模板，意思是对这个函数的大致图像我们要掌握的非常熟练。 那么我们为什么要把函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})作为模板来看呢？

请大家先看一个函数(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})，这个函数在高三数学学习中应该很常见，初次接触我们感觉很恐怖，心里都没有底，主要原因是不知道这个函数的图像和性质到底是什么样的。

别着急，慢慢看，我们对这个函数做个变换，

(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2}xrightarrow{x-2=t}t+cfrac{1}{t})，

看到变换最后的函数(g(t)=t+cfrac{1}{t})，应该不陌生，看着眼熟吧，这时候你还害怕吗？对了，我们心里稍稍安稳了一些，通过模板函数的图像变换就可以搞定它，那你还害怕什么呢？

具体变换思路：先做出函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})，然后将函数(f(x))的图像向右平移2个单位，得到函数(f(x-2))，

也就是函数(f(x-2)=(x-2)+cfrac{1}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=h(x))，不是很简单吗？如右图所示，当我们把模板函数的性质研究的透透的，对于函数(h(x))的图像和性质不也就知道了吗？

• 比如给出的这些貌似恐怖的函数，通过变换我们都能找到它们的模板函数

(f(x)=cfrac{x^2+2x+2}{x+1})；(g(x)=cfrac{x^2+2x}{x+1})；(m(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1})；

(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；(l(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t})；(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})；

模板函数

• 各种常见的基本初等函数自然都是模板函数，比如

$y=kx(k eq 0)$；

$y=ax^2+bx+c(a eq 0)$；

$y=x^a$；

$y=a^x(a>0，a eq 1)$；

$y=log_a^x(a>0，a eq 1)$；

$y=sinx，y=cosx$；

• 重点掌握

$f(x)=|x|$；

$y=2^{|x|}$

$y=e^x-e^{-x}$

$f(x)=x+cfrac{k}{x}(k>0)$，

$f(x)=x+cfrac{k}{x}(k<0)$，

$y=e^x+e^{-x}$

研究方法

• 以函数(y=x+cfrac{1}{x})的单调性探究为案例，

定义域是(xin(-infty，0)cup(0，+infty))，且是奇函数，故只先研究(xin(0，+infty))上的图像，研究工具是导数。

先求导，得到(f'(x)=1-cfrac{1}{x^2}=cfrac{x^2-1}{x^2})，

令(f'(x)>0)，即(x^2-1>0)，得到(x>1)；

令(f'(x)<0)，即(x^2-1<0)，得到(0<x<1)；结合奇函数的特性，

可知，函数在区间((-infty，-1])单增，在([-1，0))单减，在((0，1])单减，在区间([1，+infty))单增，又(f(1)=2，f(-1)=-2)，

所以可以手动做出函数的图像如下：

• 函数(y=ax+cfrac{b}{x}(a，b>0))的单调性探究：仿照上例，自行探究。

• 函数(y=x-cfrac{k}{x}(k>0))的单调性探究：仿照上例，自行探究。

相关方法

变形时可能用到的主要方法有配凑法和换元法，

我们知道，以下的这些变形其实都是以上述的函数为模板变换得到的

比如(f(x)=cfrac{x^2+2x+2}{x+1})；(g(x)=cfrac{x^2+2x}{x+1})；(m(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1})；(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；(l(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t})；(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})；

变形时用到的主要方法：配凑法和换元法，如果容易配凑，则用配凑法，如果不容易配凑则使用换元法，

引例1高考模拟训练题目赏析

(cfrac{x^2+2x+2}{x+1}=cfrac{(x+1)^2+1}{x+1}=(x+1)+cfrac{1}{x+1})；

(cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1})(=cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1})

(=x+2+cfrac{1}{x+1})(=(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1)

(cfrac{x^2+2x}{x+1}=(x+1)-cfrac{1}{x+1})；

(cfrac{x+1}{x^2+3x+3}=cfrac{1}{cfrac{x^2+3x+3}{x+1}})；

引例2高考模拟训练题目赏析

(egin{align*} g(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t}&=cfrac{cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)^2-cfrac{sqrt{2}}{2}t-cfrac{1}{8}+1}{2sqrt{2}t+1} \&=cfrac{cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)^2-cfrac{1}{4}(2sqrt{2}t+1)+cfrac{9}{8}}{2sqrt{2}t+1}\&=cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)+cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)}-cfrac{1}{4} \& ge 2sqrt{cfrac{1}{8}cdot cfrac{9}{8}}-cfrac{1}{4}=2cdotcfrac{3}{8}-cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}end{align*})，

当且仅当(cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)=cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)})，即(t=cfrac{sqrt{2}}{2})时取到等号。(这是配凑法，怎么，够震撼吧！)

引例3高考模拟训练题目赏析
再来看看代换法，个中滋味你自己体会吧，令(1+2sqrt{2}t=m)，则(t=cfrac{m-1}{2sqrt{2}})

(egin{align*}g(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t}&=cfrac{1+cfrac{(m-1)^2}{8}}{m}\&=cfrac{1}{m}+cfrac{m^2-2m+1}{8m}\&=cfrac{1}{m}+cfrac{m}{8}-cfrac{1}{4}+cfrac{1}{8m}\&=cfrac{m}{8}+cfrac{9}{8m}-cfrac{1}{4}\&=cfrac{1+2sqrt{2}t}{8}+cfrac{9}{8(1+2sqrt{2}t)}-cfrac{1}{4} \& ge 2sqrt{cfrac{1}{8}cdot cfrac{9}{8}}-cfrac{1}{4}=2cdotcfrac{3}{8}-cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}end{align*})，

当且仅当(cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)=cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)})，即(t=cfrac{sqrt{2}}{2})时取到等号。

反思总结：一般碰到分式形式的一元或二元函数，其特点是分子分母的最高次是2倍关系；我们常常将其转化为部分分式的形式，这样就能用均值不等式或对号函数的单调性来解决问题了。

相关链接

1、分式型函数相关知识 ；

2、变量集中 ；