数学中的误差

前言

有空添加整理精确度等相关内容。

相关概念

绝对误差=|测量值-真实值|；

相对误差= \(\cfrac{\textbf{|测量值-真实值|}}{\textbf{真实值}}\) ，即绝对误差所占真实值的百分比；

典例剖析

近年来，随着物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为 \(2017\)\(\sim\) \(2021\) 中国家政服务市场规模及 \(2022\) 年家政服务规模预测数据(单位：百亿元)

年份	\(2017\)	\(2018\)	\(2019\)	\(2020\)	\(2021\)	\(2022\)
市场规模	\(35\)	\(44\)	\(58\)	\(70\)	\(88\)	\(100\)

\(\Big[\)附参考公式：\(\bar{y}=59\)，\(\sum\limits_{i=1}^5{x_iy_i}=1017\)，线性回归系数为\(\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}\)，\(\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}\).\(\Big]\)

(1)若 \(2017\)\(\sim\) \(2021\) 年对应的代码依次为 \(1\)\(\sim\) \(5\)，根据 \(2017\)\(\sim\) \(2021\) 年的数据，求用户规模 \(y\) 关于年度代码 \(x\) 的线性回归方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\);

解: \(\bar{x}=\cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3\)，\(\sum\limits_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55\)

\(b\)\(=\)\(\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{5} x_{i}^{2}-5\overline{x}^{2}}\)\(=\)\(\cfrac{1017-5\times3\times 59}{55-5\times 3^{2}}\)\(=\)\(\cfrac{132}{10}\)\(=\)\(13.2\)

\(a=59-13.2\times3=19.4\)，故所求的回归直线方程为 \(y=13.2x+19.4\) .

(2)把 \(2022\) 年的年份代码 \(6\) 代入(1)中求得的回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差不超过\(5\%\)，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？

解析：由(1)可知，线性回归方程为 \(y=13.2x+19.4\)

故当 \(x=6\) 时， \(y=13.2\times 6+19.4=98.6\)，

则 \(\cfrac{100-98.6}{100}=1.4\%<5\%\)， 故预测数据符合回归模型.