分段函数中的参数分离

前言

当我们理解和掌握了一般函数的分离参数的求解方法之后，还需要注意分段函数中的参数分离方法和技巧。

典例剖析

【2022届高三一轮复习用题】已知函数 (f(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}-m, x>1, \ 2 x+a-m, x leqslant 1,end{array} ight.) 其中(a>0)且(a eq 1)， 若 (exists) (m) (in)(R) ，使得函数(f(x))有(2)个零点， 则实数 (a) 的取值范围为【(qquad)】

$A.(0,cfrac{1}{2})cup(1,2)$ $B.(0,1) cup(1,2)$ $C.(0,1) cup(2,+infty)$ $D.(0, cfrac{1}{2}) cup(2,+infty)$

〔分析〕：由题目可知，若令(f(x)=0)，则(f(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}-m=0, x>1, \ 2 x+a-m=0, x leqslant 1,end{array} ight.)

即(left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}=m, x>1, \ 2 x+a=m, x leqslant 1,end{array} ight.) 故我们想到分离参数(m)后，利用数形结合求解；

〔解析〕: 令 (f(x)=0)， (g(x)=left{egin{array}{l}2 cdot a^{x}, x>1, \ 2 x+a, x leqslant 1,end{array} ight.)

则 原函数有两个零点问题就转化为方程 (g(x)=m)有两个不同解的问题，

从而转化为形，则转化为 (y=g(x)) 与 (y=m) 的图象有两个交点，

显然当 (0<a<1) 时，存在实数(m)，使得(y=g(x)) 与 (y=m) 的图象有两个交点；

当 (a>1) 时， 只需 (2+a>2a)， 解得 (1<a<2) .

综上所述，实数 (a) 的取值范围为 ((0 , 1)cup(1,2))， 故选(B) .