反比例函数

前言

反比例函数 (y=cfrac{k}{x}) ((k eq 0))是小学数学中就学习的内容，但是在高中阶段的数学中，时不时会见到其身影。比如在函数图像变换，函数的单调性，数列的单调性中。。。

①初中学习过的反比例函数，(y=cfrac{1}{x})，是高中数学中分式函数研究和学习的源头。

结合图像，我们可以自行分析总结其性质：定义域、值域、单调性，奇偶性、周期性、对称性等等；

注意总结函数 (y=cfrac{k}{x}) ((k eq 0)) 的动态变化规律；

部分分式

$f(x)$=$cfrac{x}{x-1}$我们称$cfrac{x}{x-1}$为整体分式，由于分子分母位置都有自变量，如果不对其作相应的变形，则我们根本看不透其单调性；$quad$=$cfrac{x-1+1}{x-1}$$=$$1+cfrac{1}{x-1}$我们称$1+cfrac{1}{x-1}$为部分分式；其中第一部分$1$为整式，第二部分$cfrac{1}{x+1}$为分式，由于整体不是分式，故称为部分分式；不过这个等价变形太好了，自变量只出现在部分分式的分母位置上，这样非常方便判断单调性，也方便我们做函数的图像

[方法储备]：上述变形中最常用的两个变形为换元法和配凑法；

变换之路

作函数(g(x)=cfrac{x}{x-1})的图像；

分析：准备作图前的变换，(g(x)=cfrac{x}{x-1}=1+cfrac{1}{x-1})；选(y=cfrac{1}{x})为变换作图的模板函数，开始变换如下，

[基本作图]：(y=cfrac{1}{x}) (Rightarrow) (y=cfrac{1}{x-1}) (Rightarrow) (y=1+cfrac{1}{x-1}) (Rightarrow) 对称中心为((1,1))；

[快速作图]：相当于基本作图的简化版本，首先找到对称中心((1,1))，过此点分别作直线(x=1)和(y=1)，这是两条渐近线；由两条渐近线将上述的平面分为类似的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限，此时观察部分分式的分子[请确保分式的前面是 (+) 号，如果是 (-) 号，将减号移到分子上，部分分式的前面仍然写加号]，如果分子为正，则在类第Ⅰ和类第Ⅲ象限内作函数的图像，如图所示；

如果分子为负，则在类第Ⅱ和类第Ⅳ象限内作函数的图像；

作函数(y=cfrac{5x+1}{2x-1})的图像；

分析：先做相应的变形，(y=cfrac{5x+1}{2x-1}=cfrac{5(x+frac{1}{5})}{2(x-frac{1}{2})}=cfrac{5}{2}cdot cfrac{x+frac{1}{5}}{x-frac{1}{2}})

(=cfrac{5}{2}cdot (1+cfrac{frac{7}{10}}{x-frac{1}{2}})=cfrac{5}{2}+cfrac{frac{7}{4}}{x-frac{1}{2}})

快速作图：对称中心为((cfrac{1}{2},cfrac{5}{2}))；(cfrac{7}{4}>0)，在类第Ⅰ和第Ⅲ象限作图，如下所示：

引申结论：①函数(f(x)=b+cfrac{c}{x-a})，(a)，(b)，(c)为常数，则其对称中心为((a,b))；

②如果(c>0)，则单调递减区间为((-infty,a))和((a,+infty))；如果(c<0)，则单调递增区间为((-infty,a))和((a,+infty))；

③其解析式必然满足(f(x)+f(2a-x)=2b)；

典例剖析

常见复杂函数的转化情形

(f(x)=cfrac{2^x-1}{2^x+1}stackrel{2^x=t}{Longrightarrow}f(x)=cfrac{t-1}{t+1}=1-cfrac{2}{t+1})，

(g(x)=cfrac{log_2^x-1}{log_2^x+1}stackrel{log_2^x=m}{Longrightarrow}g(x)=cfrac{m-1}{m+1})，

(h(x)=cfrac{x^2-1}{x^2+1}stackrel{x^2=m}{Longrightarrow}g(x)=cfrac{m-1}{m+1})，

(h(x)=cfrac{sin^2x-2}{sin^2x+2}stackrel{sin^2x=m}{Longrightarrow}g(x)=cfrac{m-2}{m+2})，

解后反思：有些复杂的分式，通过换元可以转化为上述比较简单的形式；

如(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})，

• 常用配凑法+分离常数法，或配凑法+分式裂项法，或换元法，

如[配凑法](h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})，

或[换元法]令(x-2=t)，则(x=t+2)，

故(h(x)=cfrac{(t+2)^2-4(t+2)+5}{t}=cfrac{t^2+1}{t}=t+cfrac{1}{t})

即(h(x)=t+cfrac{1}{t}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})

以判断函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)的单调性为例，说明具体的操作过程。

分析：研究函数的性质，首先研究定义域；

令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得(-1<x<1)，故定义域为((-1，1))；

由于子函数(y=sinx)在((-1，1))上单调递增，故接下来重点研究子函数(y=lncfrac{1+x}{1-x})的单调性，

又由于子函数为复合函数，外函数为增函数，故令内函数为(g(x)=cfrac{1+x}{1-x})，重点研究内函数的单调性，

此时使用图像就是比较好的选择，为快速做出图像，先作适当的变换；

(g(x)=cfrac{1+x}{1-x}=-1+cfrac{2}{1-x}=-1-cfrac{2}{x-1})，我们按照下述步骤作函数(g(x))的图像，

①(y=cfrac{2}{x}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x-1)}y=cfrac{2}{x-1})，

②(y=cfrac{2}{x-1}xrightarrow{f(x) ightarrow -f(x)}y=-cfrac{2}{x-1})，

③(y=-cfrac{2}{x-1}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x)-1}y=-1-cfrac{2}{x-1})，

这样我们由图像能看出来，函数(g(x))在((-1，1))上单调递增，则子函数(y=lncfrac{1+x}{1-x})在((-1，1))上单调递增，

故函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)在区间((-1，1))上单调递增，到此单调性的判断结束。

当然，还可以借助导数判断其单调性，由于本博文主题的限制，在此不做赘述。

求函数(f(x)=cfrac{2+x}{1+x})的值域。

分析：函数(f(x)=cfrac{2+x}{1+x}=1+cfrac{1}{1+x})，由于(cfrac{1}{1+x} eq 0)，

则函数(f(x) eq 1)，故值域为((-infty，1)cup (1，+infty))。

解后反思：

1、此类函数是高三的高频函数，其图像常用变换作图得到，

作图顺序：(y=cfrac{1}{x}xrightarrow{向左1个单位}y=cfrac{1}{x+1}xrightarrow{向上1个单位} y=1+cfrac{1}{x+1})，

这样的作图变换我们一般要求学生要非常熟练的掌握。

2、函数(f(x)=cfrac{2+x}{1+x})是中心对称图形，由变换作图的过程就可以知道对称中心是((-1，1))，

其对称性的表达形式满足关系：(f(x)+f(-2-x)=2)，这是对称中心图形的另外一种等价且较抽象的说法。

注意：满足关系(f(x)+f(-2-x)=2)，等价于这个函数有对称中心((-1，1))，

但是这样的函数不一定就非得是这个函数，因为满足这个关系的函数不止一个。

3、向(y)轴作正射影，就能很容易的得到值域。这个方法也可以叫做图像法。

4、函数变换后得到(f(x)=1+cfrac{1}{1+x})，其中第一个(1)，就是从分式中分离出来的常数，为什么这样做？

主要是基于变量集中。变形前的分式的分子分母中都有变量(x)，变形后，只有后面的部分含有变量，前面仅仅是常数，

得到这样的表达式后我们要继续研究函数的其他性质往往就更容易些，这样的变形方法也叫部分分式法。

延伸阅读

已知(a_n=cfrac{n-4}{n-frac{9}{2}})，求数列({a_n})的最小项和最大项；

分析：我们依托数列所对应的函数(f(x)=cfrac{x-4}{x-frac{9}{2}}=cfrac{2x-8}{2x-9}=cfrac{2x-9+1}{2x-9}=1+cfrac{1}{2x-9})

做出其图像，其对称中心为点((4.5，1))，

由图可知，当(nleqslant 4)时，数列({a_n})单调递减，且有(1>a_1>a_2>a_3>a_4)；

当(ngeqslant 5)时，数列({a_n})单调递减，且有(a_5>a_6>a_7>cdots > 1)；

故数列({a_n})的最小项为(a_4)，最大项为(a_5)；

已知函数 (f(x)=left{egin{array}{l}x-4,&xgeqslant 4\-x+4,&x<4end{array} ight.)，若存在正实数 (k)，使得方程 (f(x)=cfrac{k}{x}) 有三个互不相等的实根 (x_{1})， (x_{2})， (x_{3})， 则 (x_{1}+x_{2}+x_{3}) 的取值范围是【 (quad) 】

$A.(4,2+2sqrt{2})$ $B.(4,6+2sqrt{2})$ $C.(6,4+2sqrt{2})$ $D.(8,6+2sqrt{2})$

解法一： 方程 (f(x)=cfrac{k}{x}) 可化为 (xcdot f(x)=k)，

令 (g(x)=xf(x))， 则 (g(x)=left{egin{array}{l}x^{2}-4x, &xgeqslant 4, \ -x^{2}+4x, &x<4.end{array} quad ight.)

作出 (g(x)) 的图象，如图所示， 方程 (xf(x)=k) 有三个互不相等的实根 (x_{1}, x_{2}, x_{3})，

等价于函数 (g(x)) 的图象与直线 (y=k) 有三个不同的交点，

结合图象可知 (0<k<4)， 不妨设 (x_{1}<x_{2}<x_{3})， 由图象可知 (x_{3}>4)，

由二次函数 (y=-x^{2}+4 x)的图象关于直线 (x=2) 对称可知，(cfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=2)，

即 (x_{1}+x_{2}=4)，令 (x^{2}-4x=4)， 解得 (x=2pm 2sqrt{2}), 所以 (4<x_{3}<2+2sqrt{2}),

所以 (4+4<x_{1}+x_{2}+x_{3}<4+2+2sqrt{2})，即 (8<x_{1}+x_{2}+x_{3}<6+2sqrt{2})，. 故选 (D).

解法二：直接利用题目给定的条件，拆分为函数 (y=f(x)) 和函数 (y=cfrac{k}{x})有三个不同的交点，如下图所示，

由图可知， 函数 (y=cfrac{k}{x}) 与 函数 (y=-x+4(x<4)) 应该有两个交点(x_1)，(x_2)(不妨令 (x_1<x_2) )，函数 (y=cfrac{k}{x}) 与 函数 (y=x-4(xgeqslant 4)) 应该有一个交点(x_3)( (x_3>4) )，

由 (f(x)=left{egin{array}{l}y=-x+4,&xgeqslant 4\y=cfrac{k}{x},&x>0，k>0end{array} ight.) 可得到，

(x^2-4x+k=0)，则由韦达定理可知 (x_1+x_2=4)，

且由 (x^2-4x+k=0)可知， 当 (k=4)时，(y=-x+4(x<4))和 (y=cfrac{k}{x}) 相切，

当(k>4)时，(y=-x+4(x<4))和 (y=cfrac{k}{x}) 相离，不满足有三个交点的情形，

当(0<k<4)时， (y=-x+4(x<4))和 (y=cfrac{k}{x}) 有两个交点，(y=x-4(xgeqslant 4))和 (y=cfrac{k}{x}) 有一个交点，满足题意；

在此动态变化过程中，可以看出 (x_3) 的范围的下限为 (4)，其上限的求解，需要 (k=4)，

从而联立 (y=cfrac{k}{x}) 和 (y=x-4(xgeqslant4)) 求解得到 (x_3=2+2sqrt{2})(舍去 (x_3=2-2sqrt{2}) )，

故得到 (4<x_3<2+2sqrt{2})，

所以 (4+4<x_{1}+x_{2}+x_{3}<4+2+2sqrt{2})，即 (8<x_{1}+x_{2}+x_{3}<6+2sqrt{2})，. 故选 (D).

解后反思：在由数转化为形的过程中，我们有两个变形的思路：其一，[首先想到，也最容易想到的]直接利用题目给定的条件，拆分为函数 (y=f(x)) 和函数 (y=cfrac{k}{x})有三个不同的交点；其二，先转化为方程 (xf(x)=k) 有三个互不相等的实根 (x_{1}, x_{2}, x_{3})，再转化为利用形来求解，相比而言，明显此思路要更先进一些，思维的层次就更高一些，作图也便利，还能利用函数的对称性。