争鸣|一道三角复合函数题目的思辨

前言

一家之言，难免有挂一漏万之嫌，欢迎各位批评雅正，谢谢合作。

题目列举

案例已知(f(sin x)=cos15x)，求(f(cos x))的值【】

$A.sin15x$ $B.-sin15x$ $C.cos15x$ $D.-cos15x$

网上解法：由于(cos x=sin(cfrac{pi}{2}-x))，(f(sin x)=cos15x)，

故(f(cos x)=f[sin(cfrac{pi}{2}-x)]=cos15(cfrac{pi}{2}-x))

(=cos(7pi+cfrac{pi}{2}-15x)=-cos(cfrac{pi}{2}-15x)=-sin15x)；故选(B)；

有人质疑：由于(cos x=sin(cfrac{pi}{2}+x))，(f(sin x)=cos15x)，

故(f(cos x)=f[sin(cfrac{pi}{2}+x)]=cos15(cfrac{pi}{2}+x))

(=cos(7pi+cfrac{pi}{2}+15x)=-cos(cfrac{pi}{2}+15x)=sin15x)；故也可选(A)；

也有人解释：选择选项(A)，(B)都对；

[问题]上述的解法，到底哪个是正确的，如何解释？

[思辨01]:由于(f(sin x)=cos15x)，(xin R)，令(x=0)，则(sin0=0)，

故(f(sin x)=f(sin0)=f(0)=cos15 imes 0=1)，按照这样的解释，

令(x=cfrac{pi}{2})，则(cos cfrac{pi}{2}=0)，故(f(cos cfrac{pi}{2})=f(0)=1)，

又当(x=cfrac{pi}{2})，由于(-sin 15x=-sin 15 imes cfrac{pi}{2}=-(-1)=1)，

而(sin 15x=sin 15 imes cfrac{pi}{2}=-1)，故选项(A)错误，而选项(B)正确；

[思辨02]:由于(f(sin x)=cos15x)，函数(y=sin x)为奇函数，(y=cos15x)为偶函数，

故外函数(f(t))应该为奇函数，这样得到的复合函数(f(sin x))才是偶函数，

那么上述的(f(sin0)=f(0)=1)，就是有问题的，原因是外函数(f(t))是奇函数，则应该有(f(0)=0)或者(f(0)=infty)[此处可以排除这种情形]；

[思辨03]:即使认定选项(B)正确，得到(f(cos x)=-sin 15 x)，也是能发现其中的错误的，

比如，上式中左端内函数(y=cos x)为偶函数，外函数为奇函数，则复合函数(f(cos x))为偶函数，而右端(y=-sin 15x) 为奇函数，出现了错误；

[错因初探]有可能题目编制人，在编制题目时只考虑了一个或几个角度，没有或者很难做到考虑到所有的角度，才出现这样的尴尬。