方程组法求函数的解析式

前言

基本类型

操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形

例1若函数(f(x))满足(f(x)+2f(1-x)=x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(1-x)替换原方程中的(x),得到(f(1-x)+2f(x)=1-x)，

联立两式，则有(egin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\f(1-x)+2f(x)=1-xend{cases})，

解以(f(x))和(f(1-x))为元的二元一次方程组，

解得(f(x)=cfrac{2}{3}-x);

例2若函数(f(x))满足(f(x)+2f(2-x)=x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(2-x)替换原方程中的(x),得到(f(2-x)+2f(x)=2-x)，联立两式，解得(f(x)=?);

例3若函数(f(x))满足(f(x)+2f(-x)=x+1)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(-x)替换原方程中的(x)，

例4若函数(f(x))满足(f(x)+2f(cfrac{1}{x})=3x)，则(f(x))的解析式为______.

分析：方程组法，用(cfrac{1}{x})替换原方程中的(x),

例5若函数(f(x))满足(f(x)+2f(cfrac{2}{x})=3x)，则(f(x))的解析式为__________.

分析：方程组法，用(cfrac{2}{x})替换原方程中的(x),

例6已知函数(f(x))的定义域为 ((0,+infty))，且(f(x)=2f(cfrac{1}{x})cdot sqrt{x-1})，则(f(x))=_________;

提示：(f(x)=cfrac{2}{3}sqrt{x}+cfrac{1}{3});

例7已知定义在((-1,1))内的函数(f(x))满足(2f(x)-f(-x)=lg(x+1))，则(f(x))=_________;

提示：(f(x)=cfrac{2}{3}lg(x+1)+cfrac{1}{3}lg(1-x))，(xin (-1,1)).

解后反思：由于两个自变量整体的和或者积为定值，故一旦替换，原来(A)位置上就变成了(B)，原来(B)位置上就变成了(A)，这样就构成了方程组，解之即得。

高阶应用

例8【2020年陕西省高三数学文质量检测一第12题】已知函数(f(x))对(forall xin R)均有(f(x)+2f(-x))(=mx)(-cfrac{1}{2})，若(f(x)geqslant lnx)恒成立，则实数(m)的取值范围是【(qquad)】

$A.[1,e]$ $B.(-infty,-e^{-frac{5}{6}}]$ $C.(-infty,sqrt[3]{e}]$ $D.(sqrt{e},+infty)$

法1：从数的角度分析，

由(f(x)+2f(-x)=mx-cfrac{1}{2})①，

用(-x)替换(x)得到下式

(f(-x)+2f(x))(=-mx-cfrac{1}{2})②，

联立①②得到，(f(x)=-mx-cfrac{1}{6})；

则题目转化为(-mx-cfrac{1}{6}geqslant lnx)在((0,+infty))上恒成立，

分离参数得到，(-mgeqslant cfrac{lnx+frac{1}{6}}{x})在((0,+infty))上恒成立，

令(g(x)=cfrac{lnx+frac{1}{6}}{x})，需要求解(g(x))的最大值;

(g'(x)=cfrac{frac{1}{x}cdot x-(lnx+frac{1}{6})}{x^2}=cfrac{frac{5}{6}-lnx}{x^2})，

当(xin (0,e^{frac{5}{6}}))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

当(xin (e^{frac{5}{6}},+infty))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

故(g(x)_{max}=g(e^{frac{5}{6}})=cfrac{lne^{frac{5}{6}}+frac{1}{6}}{e^{frac{5}{6}}}=e^{-frac{5}{6}})

则(-mgeqslant e^{-frac{5}{6}})，则(mleqslant -e^{-frac{5}{6}})，故选(B)。

法2：从形的角度分析，

由(f(x)+2f(-x)=mx-cfrac{1}{2})①，

用(-x)替换(x)得到下式

(f(-x)+2f(x))(=-mx-cfrac{1}{2})②，

联立①②得到，(f(x)=-mx-cfrac{1}{6})；

则题目转化为(-mx-cfrac{1}{6}geqslant lnx)在((0,+infty))上恒成立，

即(-mxgeqslant lnx+cfrac{1}{6})在((0,+infty))上恒成立，

设直线(y=-mx)与曲线(y=lnx+cfrac{1}{6})相切于点((x_0，y_0))，

则有(left{egin{array}{l}{cfrac{1}{x_0}=-m}\{y_0=lnx_0+cfrac{1}{6}}\{y_0=-mx_0}end{array} ight.)，解得，(x_0=e^{frac{5}{6}})，(y_0=1)，

故相切时的斜率为(k=cfrac{y_0}{x_0}=cfrac{1}{e^{frac{5}{6}}}=e^{-frac{5}{6}})，

若要满足(-mxgeqslant lnx+cfrac{1}{6})恒成立，必须满足(-mgeqslant e^{-frac{5}{6}})

则(mleqslant -e^{-frac{5}{6}})，故选(B)。