对勾型函数

前言

对勾型函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})是高中数学中的一个非常特殊且高频考查的函数，其更一般的情形是(f(x)=)(ax)(+cfrac{b}{x})((a,b>0))，由于其图像样子像对勾(checkmark) ，所以好多人形象的称其为“对勾函数”，又或称其为“耐克函数”。

模型解读

例1用导数法判断函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})的单调性并求其值域。

分析：函数的定义域是(xin(-infty，0)cup(0，+infty))，且是奇函数，

故只先研究(xin(0，+infty))上的图像，研究工具是导数。

先求导，得到(f'(x)=1-cfrac{1}{x^2}=cfrac{x^2-1}{x^2})，

令(f'(x)>0)，即(x^2-1>0)，得到(x>1)；

令(f'(x)<0)，即(x^2-1<0)，得到(0<x<1)；结合奇函数的特性，

可知，函数在区间((-infty，-1])单增，在([-1，0))单减，在((0，1])单减，在区间([1，+infty))单增，

又(f(1)=2，f(-1)=-2)，做出函数的简图，

可知函数的值域为((-infty，-2]cup [2，+infty))。

另解： (|y|=|x+cfrac{1}{x}|=|x|+|cfrac{1}{x}|geqslant 2)，即(|y|geqslant 2)，

故函数的值域为((-infty，-2]cup [2，+infty))。

例2〔简单运用〕用导数法判断函数(h(x)=3x+cfrac{2}{x})的单调性并求其值域。

简析：完全仿上完成，(h'(x)=3-cfrac{2}{x^2}=cfrac{3x^2-2}{x^2})，

故在(xin (0，cfrac{sqrt{6}}{3}])上单调递减，在([cfrac{sqrt{6}}{3}，+infty))上单调递增，

借助奇偶性，易知在((-infty，-cfrac{sqrt{6}}{3}])上单调递增，在([-cfrac{sqrt{6}}{3}，0))上单调递减，

又(h(cfrac{sqrt{6}}{3})=2sqrt{6})，(h(-cfrac{sqrt{6}}{3})=-2sqrt{6})，故能容易做出如下的函数简图；

故函数的值域为((-infty，-2sqrt{6}]cup [2sqrt{6}，+infty))。

例3〔抽象概括〕用导数法判断函数(g(x)=ax+cfrac{b}{x}(a>0，b>0))的单调性并求其值域。

分析：定义域为(xin(-infty，0)cup(0，+infty))，且是奇函数，(g'(x)=a-cfrac{b}{x^2}=cfrac{ax^2-b}{x^2})

故在(xin (0，+infty))上的增减分界点即(ax^2-b=0)的正根解，(x=sqrt{cfrac{b}{a}})，

在(xin (-infty，0))上的增减分界点即(ax^2-b=0)的负根解，(x=-sqrt{cfrac{b}{a}})，

故其单调性为：

在((-infty，-sqrt{cfrac{b}{a}}])上单调递增，在([-sqrt{cfrac{b}{a}}，0))上单调递减；(g(x)_{极大值}=g(-sqrt{cfrac{b}{a}})=-2sqrt{ab})；

在((0，sqrt{cfrac{b}{a}}])上单调递减，在([sqrt{cfrac{b}{a}}，+infty))上单调递增；(g(x)_{极小值}=g(sqrt{cfrac{b}{a}})=2sqrt{ab})；

故函数的值域为((-infty，-2sqrt{ab}]cup [2sqrt{ab}，+infty))。

例〔关联引申〕对勾函数与均值不等式有关联吗？用函数(g(x)=x+cfrac{1}{x})做以说明。

分析：我们都知道，当(x>0)时，函数(g(x)=x+cfrac{1}{x})有最小值(g(x)_{min}=g(1)=2)，

而由(g(x)=x+cfrac{1}{x}geqslant 2sqrt{xcdot cfrac{1}{x}}=2)，(当且仅当(x=cfrac{1}{x})，即(x=1)时取等号)

其实均值不等式的使用就是对勾函数在其极值点处的具体应用；理解了这一点，我们就有以下的收获：

①函数图像拐弯的点的坐标的快速记忆方法[抽象为更一般的情形，比如(m(x)=ax+cfrac{b}{x}(a>0，b>0))]，

横坐标令(ax=cfrac{b}{x})，则得到(x=sqrt{cfrac{b}{a}})，纵坐标令(ax+cfrac{b}{x}geqslant 2sqrt{ab})，

故在第一象限的那个特殊点的坐标为((sqrt{cfrac{b}{a}}，2sqrt{ab}))，在第三象限的那个特殊点的坐标为((-sqrt{cfrac{b}{a}}，-2sqrt{ab}))；

②如果均值不等式失效，则自然应该联想到使用对勾型函数求最值；

比如(g(x)=x+cfrac{2}{x}(xgeqslant 2))，

当你使用均值不等式得到(g(x)=x+cfrac{2}{x}geqslant 2sqrt{2})，

这是错误的；原因是等号在定义域(xgeqslant 2)时取不到，

此时我们利用其单调性，可知其在([2，+infty))上单调递增，故(g(x)_{min}=g(2)=2+cfrac{2}{2}=3)。

实际应用

②分子二次分母一次型，如(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})，

• 常用配凑法+分离常数法，或配凑法+分式裂项法，或换元法，

如[配凑法](h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})，

或[换元法]令(x-2=t)，则(x=t+2)，

故(h(x)=cfrac{(t+2)^2-4(t+2)+5}{t}=cfrac{t^2+1}{t}=t+cfrac{1}{t})

即(h(x)=t+cfrac{1}{t}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})

(f(x)=cfrac{9^x+1}{3^x})，

③分子一次分母二次型，如(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；

• 常用取倒数法，或换元法，或配凑同除法

如(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；则(n(x)=cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}=cfrac{1}{(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1})

如(g(t)=cfrac{t}{t^2+9}=cfrac{1}{t+frac{9}{t}})；如(h(t)=cfrac{t+2}{t^2}=cfrac{1}{t}+2(cfrac{1}{t})^2=2m^2+m);

或经过分离参数，得到分式型函数，

典例剖析

引例1高考模拟训练题目赏析

①(cfrac{x^2+2x+2}{x+1}=cfrac{(x+1)^2+1}{x+1}=(x+1)+cfrac{1}{x+1})；

②(cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1})(=cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1})

(=x+2+cfrac{1}{x+1})(=(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1)

③(cfrac{x+1}{x^2+3x+3}=cfrac{1}{cfrac{x^2+3x+3}{x+1}})；

引例2高考模拟训练题目赏析

(egin{align*} g(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t}&=cfrac{cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)^2-cfrac{sqrt{2}}{2}t-cfrac{1}{8}+1}{2sqrt{2}t+1} \&=cfrac{cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)^2-cfrac{1}{4}(2sqrt{2}t+1)+cfrac{9}{8}}{2sqrt{2}t+1}\&=cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)+cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)}-cfrac{1}{4} \& ge 2sqrt{cfrac{1}{8}cdot cfrac{9}{8}}-cfrac{1}{4}=2cdotcfrac{3}{8}-cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}end{align*})，

当且仅当(cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)=cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)})，即(t=cfrac{sqrt{2}}{2})时取到等号。(这是配凑法，怎么，够震撼吧！)

引例3高考模拟训练题目赏析
再来看看代换法，个中滋味你自己体会吧，令(1+2sqrt{2}t=m)，则(t=cfrac{m-1}{2sqrt{2}})

(egin{align*}g(t)=cfrac{1+t^2}{1+2sqrt{2}t}&=cfrac{1+cfrac{(m-1)^2}{8}}{m}\&=cfrac{1}{m}+cfrac{m^2-2m+1}{8m}\&=cfrac{1}{m}+cfrac{m}{8}-cfrac{1}{4}+cfrac{1}{8m}\&=cfrac{m}{8}+cfrac{9}{8m}-cfrac{1}{4}\&=cfrac{1+2sqrt{2}t}{8}+cfrac{9}{8(1+2sqrt{2}t)}-cfrac{1}{4} \& ge 2sqrt{cfrac{1}{8}cdot cfrac{9}{8}}-cfrac{1}{4}=2cdotcfrac{3}{8}-cfrac{1}{4}=cfrac{1}{2}end{align*})，

当且仅当(cfrac{1}{8}(2sqrt{2}t+1)=cfrac{9}{8(2sqrt{2}t+1)})，即(t=cfrac{sqrt{2}}{2})时取到等号。

例2【2019届高三理科资料用题】求函数(f(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1})的值域。

分析：注意到函数的结构特征，我们一般考虑用分式裂项法，分离变量，

将函数转化为(f(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1})

(=cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1}=x+2+cfrac{1}{x+1})

(=(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1)

(xlongequal[变量代换]{令x+1=t}t+cfrac{1}{t}+1)；

对照上述解析先求出函数(t+cfrac{1}{t})的值域是((-infty，-2]cup [2，+infty))，

则函数(t+cfrac{1}{t}+1)的值域，也就是原函数的值域为((-infty，-1]cup [3，+infty))。