给出方式|关于正切值

前言

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有关正切值的给出方式

案例已知(tan heta=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

详解：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta})(=cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1}=cfrac{2 imes 2-1}{2 imes2^2+1}=cfrac{1}{3})

【解后反思】1、分子分母都是关于(sin heta)和(cos heta)的二次齐次式时，给分子分母同除以(cos^2 heta)，转化为关于(tan heta)的一元函数问题来求解，代值运算即可。2、 限定条件以简单变形形式给出。

在具体题目中，估计你的计算需要的正切值的给出方式，可以以任意一个数学素材的角度给出，比如以下的一些常见的给出方式：

• 已知(cfrac{sin heta-cos heta}{sin heta+cos heta}=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知( heta)角的终边过点((4a，-3a)(a>0))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知( heta)角的终边在直线(3x+4y=0)上，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知如图，( an heta=AT)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知(sin heta=2cos heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知( an2 heta=-cfrac{4}{3})，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 若倾斜角为( heta)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1，1))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知(sin(cfrac{pi}{6}- heta)=cos(cfrac{pi}{6}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知(sin(pi- heta)=2sin(cfrac{pi}{2}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
  

• 已知直线(2x-y-1=0)的倾斜角为( heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

• 已知点(( heta，0))为函数(f(x)=sinx+2cosx)图像的一个对称中心，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

• 已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

• 已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

• 以双曲线的渐近线的夹角形式给出^[1]

• 利用过两点的坐标，

• 利用导函数(k=f'(x_0))给出，

如若倾斜角为(alpha)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1，1))，则(k=tanalpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4)。

• 利用函数的切线的方向向量的坐标。

如函数(f(x)=x^3+ax^2+5)在点(x=1)处的切线的方向向量为((-2,-6))，则可知(f'(x)|_{x=1}=cfrac{-6}{-2}=3)，

说明：直线的斜截式为(y=kx+b)，则其方向向量(overrightarrow{s}=(1，k))，或(overrightarrow{s}=(1，-cfrac{A}{B}))，

典例剖析

例1若直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{3}{sin heta})，

由两条直线相互垂直可知，(k_1 imes k_2=-1)，即((-cfrac{cos heta}{2})(-cfrac{3}{sin heta})=-1)

则可以得到，( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

法2：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量为(vec{u}=(-cos heta，2))，

直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)的方向向量为(vec{v}=(-3，sin heta))，

由两条直线相互垂直可知，(vec{u}cdot vec{v}=0)，即((-cos heta) imes (-3)+2 imessin heta=0)

则可以得到，(2sin heta+3cos heta=0)，即( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

例2[上例变式]若直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率为(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{sin heta}{3})，

由两条直线相互平行可知，(k_1=k_2)，即(-cfrac{cos heta}{2}=-cfrac{sin heta}{3})

则可以知道，( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

法2：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量为(vec{u}=(-cos heta，2))，

直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)的方向向量为(vec{v}=(-sin heta，3))，

由两条直线相互平行可知，(vec{u}//vec{v})，即(-3cos heta-2(-sin heta)=0)

则可以得到，即( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

对应练习

练1【2016年宝鸡市质检Ⅱ理科数学第6题】已知向量(vec{a}=(cosalpha,-2))，向量(vec{b}=(sinalpha,1))，且(vec{a})//(vec{b})，则(2sinalphacosalpha)等于【】

$A.3$ $B.-3$ $C.-cfrac{4}{5}$ $D.cfrac{4}{5}$

分析：由(vec{a})//(vec{b})，则可知(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{-2})，即( analpha=-cfrac{1}{2})，其余仿上完成，选(C)。

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1. 例(2018宝鸡市二检)双曲线(cfrac{y^2}{4}-x^2=1)的渐近线所夹的角中的锐角为(alpha)，求(cos2alpha)的值。
   分析：由题目可以知道，其渐近线为(y=pm 2x)，
   取其一(y=2x)，则其倾斜角为( heta)，可知(tan heta=2)，
   求(tanalpha)的思路之一：
   又知道( heta+cfrac{alpha}{2}=cfrac{pi}{2})，则( heta=cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})，带入上式得到，
   (tan heta=tan(cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})=cotcfrac{alpha}{2}=2)，即(cotcfrac{alpha}{2}=2)，
   则(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
   求(tanalpha)的思路之二：
   用三角函数的定义，在(y=2x)上取点((1，2))，(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，
   由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
   到此，题目转化为已知(tanalpha=cfrac{4}{3})，求(cos2alpha=？)的值。
   (cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha+sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{7}{25})。 ↩︎