数学文化题

前言

典例剖析

例1我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形的面积求一边的算法[少广算法]，其方法的前两步如下。第一步：构造数列(1)，(cfrac{1}{2})，(cfrac{1}{3})，(cfrac{1}{4})，(cdots)，(cfrac{1}{n}①)，第二步：将数列①的各项乘以(cfrac{n}{2})，得到一个新数列(a_1)，(a_2)，(a_3)，(cdots)，(a_n)，则(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+cdots+a_{n-1}a_n)等于多少？

$A.cfrac{n^2}{4}$ $B.cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.cfrac{n(n+1)}{4}$

法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定(n=4)，然后代入验证，选(C).

法2：写出新数列的通项公式(a_k=cfrac{1}{k}cdot cfrac{n}{2})，注意通项公式不是(a_n=cfrac{1}{n}cdot cfrac{n}{2})，

这样求和的数列的通项公式就是

(kge 2)，(a_{k-1}a_k=cfrac{n^2}{4}cfrac{1}{(k-1)k}=cfrac{n^2}{4}(cfrac{1}{k-1}-cfrac{1}{k}))

故(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+cdots+a_{n-1}a_n)

(=cfrac{n^2}{4}[(1-cfrac{1}{2})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3})+(cfrac{1}{3}-cfrac{1}{4})+cdots+(cfrac{1}{k-1}-cfrac{1}{k})])

(=cfrac{n^2}{4}(1-cfrac{1}{n})=cfrac{n(n-1)}{4}).

例2【2019届•高三理科数学课时作业】【2018广东潮州二模】在我国古代著名的数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？【】

$A.8日$ $B.9日$ $C.12日$ $D.16日$

分析：良马日行构成等差数列({a_n})，其中(a_1=103)，公差(d_1=13)，其前(n)项和为(S_n)；

驽马日行构成等差数列({b_n})，其中(b_1=97)，公差(d_2=-cfrac{1}{2})，其前(n)项和为(T_n)；

设两马(n)日能相逢，则由题可知，(S_n+T_n=2 imes 1125)，即(103n+cfrac{n(n-1)}{2} imes 13+97n+cfrac{n(n-1)}{2} imes (-cfrac{1}{2})=2250)，

解得(n=9)，或者由上式直接验证得到(n=9)，故选(B)。

例3【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为(48)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为(1)，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。

分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；

解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有(8)个面，再外加上下两个面，故共有(3 imes 8+2=26)个面。

如图所示，设棱长为(x)，即(MN=NE=x)，由( riangle EHN)为等腰直角三角形，

由(NE=x)，则可知(NH=cfrac{sqrt{2}}{2}x)，又(MN+2NH=1)，

则(x+2 imes cfrac{sqrt{2}}{2}x=1)，即((sqrt{2}+1)x=1)，解得(x=sqrt{2}-1).

综上可知，此半正多面体共有(26)个面，棱长为(sqrt{2}-1)。

【解后反思】

1、求其表面积；

2、求其体积；

3、求其内切球的半径；

分析：由这个动画可以看出，该半正多面体没有内切球。

4、求其外接球的半径；

外接球的半径可以借助下图来求解。

5、古典概型中的几何体计数