前言
交轨法，是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法之一。其使用步骤大致是：首先选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，然后得到不含参数的方程，此方程即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法[交点轨迹法]。
交轨法也可以说是参数法，但是参数法不一定是交轨法。
典例剖析
法1：参数方程法，首先联立两个方程，得到(left{egin{array}{l}{x-my-1=0①}\{mx+y-1=0②}end{array} ight.)
给②式乘以(m)，消(y)得到，(x=cfrac{m+1}{m^2+1})，代入②式得到(y=cfrac{1-m}{m^2+1})
即交点轨迹的参数方程为
或者说我们就可以用参数方法来回答这个问题。
不过我们还是继续完成接下来的任务，重点和难点是消参。
(left{egin{array}{l}{x=cfrac{m+1}{m^2+1}①}\{y=cfrac{1-m}{m^2+1}②}end{array} ight.quad (m为参数))，如何消参，
给①^2+②^2，得到(x^2+y^2=cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=cfrac{2}{m^2+1})，
又(x+y=cfrac{2}{m^2+1})，故(x^2+y^2-x-y=0)。
又当(x=0)且(y=0)时，(m)不存在，
故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。
法2：交轨法，将两个方程分别变形为(my=x-1)和(mx=1-y)，
当(m=0)时，两个方程不能相除，此时得到两个直线的交点为((1，1))；
当(m eq 0)时，两式相除得到(cfrac{my}{mx}=cfrac{x-1}{1-y})，即(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，
变形为(y(1-y)=x^2-x)，整理为(x^2+y^2-x-y=0)，即((x-frac{1}{2})^2+(y-frac{1}{2})^2=cfrac{1}{2})
再分别验证点((1，1))和点((0，1))和点((1，0))都在上述曲线上，但是点((0，0))不应该在轨迹曲线上，
[为什么验证这四个点，原因是由(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，两个横行即分子分母都为零，得到点((0，1))和((1，0))，两个竖行都为零，得到点点((0，0))和((1，1))，]
故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。
可转化划归
法1：定义法，记(odot O_1)的圆心((0,0))为点(F_1)，半径为(r_1=1)，记(odot O_2)的圆心((4,0))为点(F_2)，半径为(r_2=3)，
再设动圆的圆心坐标为(P(x，y))，半径为(R)，则由于动圆(odot P)与两个圆都内切，则有(|PF_1|=R+1)，(|PF_2|=R+3)，
即(|PF_2|-|PF_1|=2)，故动点(P)到两个定点的距离的差为定值[注意没有绝对值]，则动点的轨迹为双曲线的右支。
又由上式可知，(a=1)，(2c=|F_1F_2|=4)，故(c=2)，则(b=sqrt{3})，
故得到标准形式的双曲线的方程为(cfrac{x^2}{1^2}-cfrac{y^2}{3}=1)①，
但是上述的双曲线方程是基于双曲线的中心在坐标原点处的，而本题目的双曲线的中心在点((2,0))，
故将①式对应的图像向右平移两个单位，则得到(cfrac{(x-2)^2}{1^2}-cfrac{y^2}{3}=1)，即((x-2)^2-cfrac{y^2}{3}=1)，
故所求的动圆圆心轨迹为双曲线的右支，其中心为((2,0))，实半轴长为(1)，虚半轴长为(sqrt{3})的双曲线。
法2：交轨法，本题目并没有明确要求交点的轨迹，但是我们可以将其转化，使得动点[动圆的圆心]称为两曲线族的交点，用交轨法求解。
设动圆的圆心坐标为(P(x，y))，半径为(R)(此处我们视其为参数)，
(odot O_1)的圆心((0,0))，半径为(r_1=1)，(odot O_2)的圆心((4,0))，半径为(r_2=3)，
则点(P)的第一轨迹是以(O(0,0))为圆心，以(R-1)为半径的圆周(同心圆族)，则$$x^2+y^2=(R-1)^2quad ①$$
点(P)的第二轨迹是以(O_1(4,0))为圆心，以(R-3)为半径的圆周(同心圆族)，则$$(x-4)^2+y^2=(R-3)^2quad ②$$
故动圆圆心(P)的轨迹的参数方程为
联立①②两式，消去参数(R;)[1](;)得到，((x-2)^2-cfrac{y^2}{3}=1)，
[具体的消参过程：
由①得到，(sqrt{x^2+y^2}+1=R)，
由②得到(sqrt{(x-4)^2+y^2}+3=R)，
则得到(sqrt{x^2+y^2}+1=sqrt{(x-4)^2+y^2}+3)，
先整理得到(sqrt{x^2+y^2}-2=sqrt{(x-4)^2+y^2})
两边同时平方整理得到，(sqrt{x^2+y^2}=2x-3)，
再次两边同时平方整理得到，((x-2)^2-cfrac{y^2}{3}=1)
由于(2x-3>0)，故(x>cfrac{3}{2})，故只是双曲线的右支]
故所求的动圆圆心轨迹为双曲线的右支，其中心为((2,0))，实半轴长为(1)，虚半轴长为(sqrt{3})的双曲线。