提高运算速度+准确度

前言

几乎所有数学成绩不好的学生，其运算速度都不高，运算的准确度更低，所以好多人都关注如何提高运算的速度和准确度，但鲜有人思考到底该如何做才能提高运算速度和准确度。

提高准确度

熟练记忆数学公式，这是运算准确的前提和基础，否则会南辕北辙；比如三个数成等差[或等比]的设元技巧；

准确理解数学条件，学会正确使用数学条件，比如数列题目中忘记(nin N^*)，三角题目中忘记(kin Z)，严格来说就是错误的，但好多学生对此不以为然；

弄清楚数学变形的算理，不要随便施加变形；

案例1如已知(x=-2)，两边平方后变形为(x^2=4)，实际上已经产生了增根(x=2)了。

案例2比如，已知(x=2)，给两边同乘以(x)，则得到(x^2=2x)，则实际上已经产生了增根(x=0)了。如果要保证不产生增根，则要保证所乘的是非零因子。

强烈建议记忆老师给大家总结的运算技巧，有时候一个技巧的正确使用会让我们产生这样的感触：一窍不得，少挣几百。

案例3对抛物线(y^2=8x)而言，如果需要取其上一个动点，坐标设为((2t^2，4t))，就比设为((x，y))或者((x，pm 2sqrt{2}x))要好计算的多，且不容易出错；

提速案例

设而不求的策略应用可以提高运算速度。

同理同法的题目中，计算一次，仿写一次，可提高运算速度

例18【2020宝鸡市质检三文科第12题】已知拋物线(C: y=x^{2})，(P)是直线(x+y+2=0)上的动点，过点(P)向曲线(C)引切线，切点分別为(A)，(B)，则( riangle P AB)的重心【】

$A.恒在x轴上方$

$B.恒在x轴上$

$C.恒在x轴下方$

$D.位置不确定$

分析：由于点(P)在直线(x+y+2=0)上，故设(P(-2-y_{0}, y_{0}))，

又由于点(A)，(B)在(y=x^{2})上，故设(A(x_{1}, x_{1}^{2})), (B(x_{2}, x_{2}^{2}))，

由于(y^{prime}=2x)，则(k_{1}=2x_{1})，则在(A)点的切线方程(l_{1})为(y-x_{1}^{2}=2x_{1}(x-x_{1}))，

又由于点(P)在(l_{1})上，则(y_{0}-x_{1}^{2}=2 x_{1}(-2-y_{0}-x_{1}))，即(x_{1}^{2}+2(y_{0}+2)x_{1}+y_{0}=0)，

同理， (B)点的切线方程有(x_{2}^{2}+2(y_{0}+2)x_{2}+y_{0}=0)，[仿上的结果直接写出，工作量减少一半]

所以，(x_{1})，(x_{2})是方程(x^{2}+2(y_{0}+2)x+y_{0}=0)的两根，[此处用到合二为一的策略]

由韦达定理可知，(left{egin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-2(y_{0}+2)\x_{1}x_{2}=y_{0}end{array} ight.)

则有(cfrac{y_{0}+y_{1}+y_{2}}{3}=cfrac{x_{1} x_{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{3})

(=cfrac{x_{1} x_{2}+(x_{1}+x_{2})^2-2x_1x_2}{3}=cfrac{(x_{1}+x_{2})^2-x_1x_2}{3})

(=cfrac{4(y_0+2)^2-y_0}{3}=cfrac{4y_0^2+15y_0+16}{3}>0) [(Delta=15^2-4 imes4 imes16<0)]

故( riangle PAB)的重心恒在(x)轴上方, 故选(A).

来回运算[先乘后除，先加后减]浪费时间；应该先化简再运算

案例1大多学生计算下式时，不做化简，他们是这样做的：

(cos heta=cfrac{(30sqrt{5})^2+(20sqrt{10})^2-50^2}{2 imes 30sqrt{5} imes 20sqrt{10}}=cfrac{4500+4000-2500}{6000sqrt{2}}=cfrac {sqrt{2}}{2})

但是如果每次变形都先约分，再化简，真的会省事不少：

(cos heta=cfrac{90mkern-8.5mu/0mkern-8.5mu/ imes 5+40mkern-8.5mu/0mkern-8.5mu/ imes 10-250mkern-8.5mu/0mkern-8.5mu/}{2 imes 20mkern-8.5mu/ imes 30mkern-8.5mu/ imessqrt{5} imes sqrt{10}}=cfrac{9 imes 5+4 imes 10-25}{2 imes 2 imes 3 imes sqrt{5} imes sqrt{5} imes sqrt{2}})

(=cfrac{9 imes 5mkern-8.5mu/+4 imes 2 imes 5mkern-8.5mu/-5 imes 5mkern-8.5mu/}{2 imes 2 imes 3 imes sqrt{5}mkern-8.5mu/ imes sqrt{5}mkern-8.5mu/ imes sqrt{2}}=cfrac{9+8-5}{2 imes2 imes 3 imessqrt{2}}=cfrac{1}{sqrt{2}}=cfrac{sqrt{2}}{2})

• 冗余运算步骤太多；

案例1 比如对不等式(cfrac{1}{x}-ax-2<0(x>0))分离参数，

有学生这样运算，(-ax<2-cfrac{1}{x})，(-a<cfrac{2}{x}-cfrac{frac{1}{x}}{x})，(-a<cfrac{2}{x}-cfrac{1}{x^2})，(a>-cfrac{2}{x}+cfrac{1}{x^2})，(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})，

上述解法的书写过程中，出现了太多的不必要的步骤，有些步骤需要一定的口算心算能力，而不必要写出来。

其实，上述过程最多写两步，超过就是多余了。

(ax>cfrac{1}{x}-2)，(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})。

• 再比如配方法中的书写次序；

(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x^2-cfrac{5}{2}x)+3) (=-2(x^2-cfrac{5}{2}x+ riangle )+3+2 riangle)

• 对三种数学语言之间的相互转化储备不足，理解不到位，导致迟迟不敢下笔耽搁时间；

例1符号语言：(forall x_1in A)，(exists x_2in B)，使得方程(g(x_2)=f(x_1))成立，先转化如下，

符号语言：({ymid y=f(x)，xin A}subseteq {ymid y=g(x)，xin B})；

自然语言：即函数(y=f(x))的值域是函数(y=g(x))的值域的子集。

例2自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(x)轴的对称点，

$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(x)=-g(x))有解；

自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(y)轴的对称点，

$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(-x)=g(x))有解；

自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于原点((0，0))的对称点，

$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(x)=-g(-x))有解；

• 思维训练不够，思维比较僵化；

比如求函数零点的方法有解方程法，图像法，零点存在性定理法三种，而同一个题目中可能要用到(2)种以上。

如求函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2-2，xleqslant 0}\{2x-6+lnx，x>0}end{array} ight.quad)的零点个数时，第一段用解方程法，第二段用图像法，共有两个零点。如果你死守着只用一种，速度自然就会慢下来；

• 对数学公式的理解层次低，公式使用不灵活，比如想不到公式的逆用；

案例比如，已知定义在(R)上的增函数函数(f(x))满足(f(x)+f(y)=f(xy))，解(f(x)+f(2x-1)<f(3))；

分析：利用条件(f(x)+f(y)=f(xy))，将左端变形为(f(x)+f(2x-1)=f[x(2x-1)])，

故原不等式变形为(f[x(2x-1)]<f(3))，又定义域(R)，单调递增，

故得到(x(2x-1)<3)，然后求解得到(-1<x<cfrac{3}{2})。

若题目中条件(f(x)+f(y)=f(xy))变形为(f(xy)=f(x)+f(y))，或者(f(xy)-f(x)=f(y))，则学生可能更想不出该如何使用。

• 当题目的计算思路比较多时，对各种思路的难易程度的预估不足，或选了比较难的思路；

案例2 已知(g(x)=cfrac{2xlnx+x^2+3}{x})，求(g'(x))；

思路一：利用((cfrac{u}{v})'=cfrac{u'v-uv'}{v^2})计算

(g'(x)=cfrac{[2(1+lnx)+2x]cdot x-(2xlnx+x^2+3)cdot 1}{x^2}=cfrac{x^2+2x-3}{x^2})；

思路二：先化简再求导后通分，(g(x)=2lnx+x+cfrac{3}{x})，

则(g'(x)=cfrac{2}{x}+1-cfrac{3}{x^2}=cfrac{x^2+2x-3}{x^2})

案例3已知(f(x)=lncfrac{x-1}{x+1})，求(f'(x))

思路一：令(u=cfrac{x-1}{x+1})，则(f'(x)=cfrac{1}{u}cdot u'_x)

(=cfrac{x+1}{x-1}cdot cfrac{1cdot(x+1)-(x-1)cdot 1}{(x+1)^2})

(=cfrac{x+1}{x-1}cdot cfrac{2}{(x+1)^2}=cfrac{2}{x^2-1})

思路二：(f(x)=lncfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1))，

则(f'(x)=cfrac{1}{x-1}cdot (x-1)'-cfrac{1}{x+1}cdot (x+1)')

(=cfrac{1}{x-1}-cfrac{1}{x+1}=cfrac{2}{x^2-1})

案例4已知定义域为(R)的函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，判断函数(f(x))的奇偶性；

法1：变形运算较难，利用(f(-x)=pm f(x))来判断；

(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))

(=ln(frac{1}{sqrt{x^2+1}-x}))

(=ln(sqrt{x^2+1}-x)^{-1})

(=-ln(sqrt{x^2+1}-x)=-f(x))

即函数(f(x))为奇函数；

备注：((sqrt{x^2+1}+x)(sqrt{x^2+1}-x)=1)；((sqrt{n+1}-sqrt{n})(sqrt{n+1}+sqrt{n})=1)；

法2：变形运算容易，利用变形式(f(-x)pm f(x)=0)来判断；

由于(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，则(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))，

即(f(x)+f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+ln(sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0)，即函数(f(x))为奇函数；

引例2，已知函数(g(x)=lg(sqrt{sin^2x+1}+sinx))，判断其奇偶性；

分析：同上例，可知(g(-x)=lg(sqrt{sin^2x+1}-sinx))，即(g(x)+g(-x)=lg1=0)，即函数(g(x))为奇函数；

反思：虽然说(f(-x)=-f(x))和(f(-x)+f(x)=0)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；

案例5已知(alpha)为第二象限角，(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{10})，求(sinalpha)和(cosalpha)的值；

思路一：由(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{sqrt{2}}{10})，可以得到(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})， 结合(sin^2alpha+cos^2alpha=1)，

解得(sinalpha=cfrac{4}{5})，(cosalpha=-cfrac{3}{5})，或(sinalpha=-cfrac{4}{5})，(cosalpha=cfrac{4}{5})，

又(alpha)为第二象限角，可知(sinalpha=cfrac{4}{5})，(cosalpha=-cfrac{3}{5})，

思路二：由于(alpha)为第二象限角，则(alpha+cfrac{pi}{4})为第二或第三象限的角，故(cos(alpha+cfrac{pi}{4})<0)

由于(sinalpha=sin[(alpha+cfrac{pi}{4})-cfrac{pi}{4}])

(=sin(alpha+cfrac{pi}{4})cfrac{sqrt{2}}{2}-cos(alpha+cfrac{pi}{4})cfrac{sqrt{2}}{2})

(=cfrac{sqrt{2}}{10} imes cfrac{sqrt{2}}{2}+cfrac{7sqrt{2}}{10} imes cfrac{sqrt{2}}{2}=cfrac{4}{5})

由平方关系，及(alpha)为第二象限角，可知(cosalpha=-cfrac{3}{5})。

思路三：由(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{sqrt{2}}{10})，可以得到(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})，

又(alpha)为第二象限角，结合勾股数(3,4,5)，可知(sinalpha=cfrac{4}{5})，(cosalpha=-cfrac{3}{5})，

案例6化简(cfrac{2}{e^{-x}+1})

思路一：运用分式的通分，分式的除法等，(cfrac{2}{e^{-x}+1}=cfrac{2}{frac{1}{e^x}+1}=cfrac{2}{frac{e^x+1}{e^x}}=cfrac{2e^x}{e^x+1})；

思路二：运用分式的性质，(cfrac{2}{e^{-x}+1}=cfrac{2cdot e^x}{(e^{-x}+1)cdot e^x}=cfrac{2e^x}{e^x+1})；

• 不等式(cfrac{k}{cfrac{1}{x}+a}+cfrac{cfrac{1}{x}+b}{cfrac{1}{x}+c}<0)，即(cfrac{kcdot x}{(cfrac{1}{x}+a)cdot x}+cfrac{(cfrac{1}{x}+b)cdot x}{(cfrac{1}{x}+c)cdot x}<0)

上述不等式整理得到，(cfrac{kx}{ax+1}+cfrac{bx+1}{cx+1}<0)

• 代入运算的小技巧，比如将(x=-1+tcosalpha)，(y=1+tsinalpha)代入方程(x^2+y^2-4x=0)，注意对齐书写

(演草纸上如右操作，省时省力；left{egin{array}{l}{1-2tcosalpha+t^2cos^2alpha}\{1+2tsinalpha+t^2sin^2alpha}\{4-4tcosalpha}end{array} ight.)

整理得到，(t^2+(2sinalpha-6cosalpha)t+6=0)。

补充例子：角的拆分和整合

((cfrac{pi}{4}+ heta)+(cfrac{pi}{4}- heta)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{3}+ heta)+(cfrac{pi}{6}- heta)=cfrac{pi}{2})；

(2xpmcfrac{pi}{2}=2(xpmcfrac{pi}{4}))；(2alphapmcfrac{pi}{3}=2(alphapmcfrac{pi}{6}))；

• 常见的配角技巧：

(2alpha=(alpha+eta)+(alpha-eta))；(2eta=(alpha+eta)-(alpha-eta))；

(alpha=(alpha+eta)-eta)；(eta=alpha-(alpha-eta))；

(alpha=cfrac{alpha+eta}{2}+cfrac{alpha-eta}{2})；(eta=cfrac{alpha+eta}{2}-cfrac{alpha-eta}{2})；

((cfrac{pi}{4}+ heta)+(cfrac{pi}{4}- heta)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{3}+ heta)+(cfrac{pi}{6}- heta)=cfrac{pi}{2})；

(2xpmcfrac{pi}{2}=2(xpmcfrac{pi}{4}))；(2alphapmcfrac{pi}{3}=2(alphapmcfrac{pi}{6}))；

• 熟记一些常用的结论，以提高运算速度；

比如(x^2pm x+1>0)，((xcdot lnx)'=lnx+1)，等等

用比例因子、勾股数，提高运算速度，

②连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：

如三角形的三边之比为(a：b：c=2：3：4)，则可以设(a=2k，b=3k，c=4k(k>0))；

已知离心率(e=cfrac{c}{a}=sqrt{3})，则可知(c=sqrt{3}t，a=t(t>0)) ，则有(b=sqrt{2}t)；

再如(Delta ABC)中，给定(cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC})，

若令(cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC}=k)，

则有(cosA=cfrac{a}{k})，(cosB=cfrac{b}{k})，(cosC=cfrac{c}{k})，

再结合(sinA=cfrac{a}{2R})，(sinB=cfrac{b}{2R})，(sinC=cfrac{c}{2R})，

故有(tanA=tanB=tanC=cfrac{k}{2R})，故(A=B=C=cfrac{pi}{3})。

已知(tan heta=1)，则(left{egin{array}{l}{sin heta=cfrac{sqrt{2}}{2}}\{cos heta=cfrac{sqrt{2}}{2}}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{sin heta=-cfrac{sqrt{2}}{2}}\{cos heta=-cfrac{sqrt{2}}{2}}end{array} ight.)；

已知(tan heta=2)，则(left{egin{array}{l}{sin heta=cfrac{2sqrt{5}}{5}}\{cos heta=cfrac{sqrt{5}}{5}}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{sin heta=-cfrac{2sqrt{5}}{5}}\{cos heta=-cfrac{sqrt{5}}{5}}end{array} ight.)；

已知(tan heta=3)，则(left{egin{array}{l}{sin heta=cfrac{3sqrt{10}}{10}}\{cos heta=cfrac{sqrt{10}}{10}}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{sin heta=-cfrac{3sqrt{10}}{10}}\{cos heta=-cfrac{sqrt{10}}{10}}end{array} ight.)；

注意题目特点，选用更好的求解思路；

练6关于(x)的不等式(a^2x^2+ax-2=0)在([-1,1])上有解，求(a)的取值范围；

分析：(a^2x^2+ax-2=0)，即((ax+2)(ax-1)=0)；显然(a eq 0)

则(-1leqslant cfrac{1}{a}leqslant 1)或(-1leqslant -cfrac{2}{a}leqslant 1)

若常规方法，利用解分式不等式求解，太浪费时间，注意到题目的特点，此处换用绝对值不等式求解；

即(|cfrac{1}{a}|leqslant 1)或(|cfrac{2}{a}|leqslant 1)

即(|a|geqslant 1)或(|a|geqslant 2)，

则(|a|geqslant 1)，即(aleqslant -1)或(ageqslant 1)。

• 弄清楚所计算问题的算理，越复杂问题的化简，越体现算理的重要性；

例17倾斜角为(cfrac{pi}{4})的直线经过椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的右焦点(F)，与椭圆交于(A)，(B)两点，且(overrightarrow{AF}=)(2overrightarrow{FB})，则该椭圆的离心率为【】

$A.cfrac{sqrt{2}}{3}$ $B.cfrac{sqrt{2}}{2}$ $C.cfrac{sqrt{3}}{3}$ $D.cfrac{sqrt{3}}{2}$

分析：由题可知，直线方程为(y=x-c)，将其代入椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)，消去(y)，

整理得到((a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0)，

设(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，则由韦达定理可知，

(x_1+x_2=cfrac{2a^2c}{a^2+b^2}①)，(x_1x_2=cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}②)

又由(overrightarrow{AF}=)(2overrightarrow{FB})得到((c-x_1，0-y_1)=2(x_2-c，y_2-0))，整理即得到(2x_2+x_1=3c③)，

联立①③式，解得(x_1=cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2})，(x_2=cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}④)，

将④式代入②式，得到(cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2} imes cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}=cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2})

[说明：到此，本题目的最大难点出现，到底该如何化简上式。由于是求离心率问题，故我们本着这样的考量来化简，留下(a)和(c)，尽可能的代换和消去(b)，详细化简如下：]

分式两边先各约去一个分母，再对左边的分子使用平方差公式，得到

[cfrac{a^4c^2-9b^4c^2}{a^2+b^2}=a^2c^2-a^2b^2 ]

将分式化简为整式得到，

[a^4c^2-9b^4c^2=a^4c^2-a^4b^2+a^2b^2c^2-a^2b^4 ]

抵消(a^4c^2)项，整理为一端为零的形式，得到

[a^4b^2-9b^4c^2-a^2b^2c^2+a^2b^4=0 ]

再约去因式(b^2)得到，

[a^4-9b^2c^2-a^2c^2+a^2b^2=0 ]

上式的第一、三两项提取公因式(a^2)，得到，

[a^2(a^2-c^2)-9b^2c^2+a^2b^2=0 ]

再次整理得到，

[2a^2b^2-9b^2c^2=0 ]

再次约去因式(b^2)得到，

[2a^2=9c^2 ]

从而得到(e^2=cfrac{c^2}{a^2}=cfrac{2}{9})，故(e=cfrac{sqrt{2}}{3})，选(A)。

思维层次低

具体例子待后补充；

1、归纳的题型方法不到位

2、从题型和方法中感悟的数学素养不到位。