函数方程和函数不等式

前言

方程和不等式

在初中，我们称(x^2-3x+2=0)为方程，称(x^2-3x+2leqslant 0)为不等式。而高中阶段的方程和不等式中往往会渗透函数，故引出函数方程和函数不等式。

函数方程

比如，给定函数(f(x)=left{egin{array}{l}{sqrt{x}，0<x<1}\{2(x-1)，xge 1}end{array} ight.)，若(f(a)=f(a+1))，求(f(cfrac{1}{a}))的值，则这样的方程(f(a)=f(a+1))我们称为函数方程。求解函数方程时要么用到其解析式[大多情形下]，要么用到单调性[很少]。

例2【2019届高三理科函数及其表示课时作业第18题】设函数(f(x)=left{egin{array}{l}{sqrt{x}，0<x<1}\{2(x-1)，xge 1}end{array} ight.)，若(f(a)=f(a+1))，求(f(cfrac{1}{a}))的值_________。

分析：当(0<a<1)时，(a+1>1)，

则(f(a)=f(a+1))变形为(sqrt{a}=2[(a+1)-1])，即(sqrt{a}=2a)，

解得(a=0)(舍去)或(a=cfrac{1}{4})；

当(age 1)时，(a+1ge 2)，

则(f(a)=f(a+1))变形为(2(a-1)=2[(a+1)-1])，解得(ain varnothing)，

综上，(a=cfrac{1}{4})，

故有(f(cfrac{1}{a})=f(4)=2(4-1)=6)

函数不等式

比如，已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x，xleqslant 0}\{ln(x+1)，x>0，}end{array} ight.) 若(f(2-x^2)>f(x))，求(x)的范围。则不等式(f(2-x^2))(>f(x))称为函数不等式。求解函数不等式时常常要用到函数的相关性质[比如定义域，单调性，奇偶性等]，此时给定的解析式仅仅是为了得到相关的性质。

例11【2017(cdot)榆林模拟】函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，则不等式(f(a-2)+f(a^2-4)<0)的解集是【】

$A.(sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(sqrt{3}，sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号(f)，而在此之前，需要转化为(f(M)<( 或>)f(N))的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得定义域((-1，1))；

再求奇偶性，由于(f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}-sinx)，(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，

所以(f(-x)+f(x)=0)，故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令(g(x)=lncfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-cfrac{2}{x-1}))，由于(u=-1-cfrac{2}{x-1})为增函数，

所以函数(g(x))为增函数，故函数(f(x)=g(x)+sinx)为((-1，1))上的增函数，

法二，导数法，(f'(x)=cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0)，故函数(f(x))为((-1，1))上的增函数，

到此需要的性质基本备齐了[定义域，单调性，奇偶性]，

由(f(a-2)+f(a^2-4)<0)，

变换得到(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2))，

由定义域和单调性得到以下不等式组：(egin{cases}-1<a-2<1\ -1<a^2-4<1 \a-2<4-a^2 end{cases})，

解得(sqrt{3}<a<2)，故选(A)。