2020届校级月考[01-03]

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第10题】已知函数(y=f(x))是定义在(R)上的奇函数，且满足(f(x+2))(+f(x)=0)，当(xin [-2，0])时，(f(x)=-x^2-2x)，则当(xin [4，6])时，(y=f(x))的最小值为【】

$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$

分析：本题目的本质是求解函数(f(x))的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；

[法1]：由于(f(x+2)+f(x)=0)，即(f(x+2)=-f(x))，故(T=4)，又(y=f(x))是(R)上的奇函数，

故可以先利用奇偶性求得(xin [0，2])上的解析式；

当(xin [0,2])时，(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x)，

再利用周期性求得(xin [4，6])上的解析式；

当(xin [4,6])时，(x-4in [0,2])，(f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2 imes (x-4)=x^2-10x+24)，

接下来求解(xin [4,6])时函数(f(x)=x^2-10x+24)的最小值；

(f(x)=(x-5)^2-1)，(xin [4,6])，故(f(x)_{min}=f(5)=-1)；故选(B);

[法2]：当求得(xin [0,2])时，(f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2 imes (-x)]=x^2-2x)，

由于函数的周期为(4)，故函数(f(x))在(xin [0,2])段上的值域和(xin [4,6])段上的值域相同，

故只需要求解(xin [0,2])时，(f(x)=x^2-2x)的最小值即可，(f(x)=(x-1)^2-1)，

故(f(x)_{min}=f(1)=-1)，故(xin [4,6])上的最小值也是(-1)，故选(B);

[法3]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：

由于周期为(T=4)，故有(f(x+4)=f(x))，又由于函数为奇函数，故(f(x)=-f(-x))，

则得到(f(x+4)=-f(-x))，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点((2,0))成中心对称；

若(xin [0,2])，则此时(f(-x))可解，且(f(x+4))即表达函数在(xin [4,6])上的解析式；

故(f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2 imes (-x)]]=x^2-2x)，(xin [0,2])，

直接求(y=x^2-2x)，(xin [0,2])上的最小值即可，同上可知此时(y_{min}=y_{|x=1}=-1)，

故所求的最小值为(-1)，故选(B)；

其实做个代换，即能得到(xin [4,6])上的解析式；分析如下，

由于(f(x+4)=x^2-2x)，(xin [0,2])，令(x+4=t)，则(tin [4,6])，则(xin t-4)

故(f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24)，即(f(x)=x^2-10x+24)，(xin [4,6])；

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第12题】已知(f'(x))是(f(x))的导函数，且对任意的实数(x)都满足(f'(x)=)(e^x(2x+3))(+f(x))，(f(0)=1)，则不等式(f(x)<5e^x)的解集为【】

$A.(-4，1)$ $B.(-1，4)$ $C.(-infty，-4)cup (1，+infty)$ $D.(-infty，-1)cup (4，+infty)$

分析：将已知等式(f'(x)=e^x(2x+3)+f(x))变形为(cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}=2x+3)，

令(g(x)=cfrac{f(x)}{e^x})，则(g'(x)=cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x})，则(g'(x)=2x+3)，

则(g(x)=x^2+3x+C)，又由于(f(0)=1)，则(g(0)=cfrac{f(0)}{e^0}=1)，则可知(C=1)，

故(g(x)=x^2+3x+1)，而不等式(f(x)<5e^x)即(g(x)<5)，故(x^2+3x+1<5)，

得到(x^2+3x-4<0)，解得(-4<x<1)，故选(A).

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第14题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{1+log_2(2-x)，x<1}\{2^{x-1}，xgeqslant 1,}end{array} ight.)
则(f(-2)+f(log_212))=_______________.

分析：由题目可知，(f(-2)=1+log_2[2-(-2)]=1+2=3)；又由于(log_212>1)，

故(f(log_212)=2^{log_212-1}=2^{log_212} imes 2^{-1}=12 imes cfrac{1}{2}=6)，

故(f(-2)+f(log_212)=9)；

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第16题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{|log_2x|，0<x<2}\{sin(frac{pi}{4})x，2leqslant xleqslant 10,}end{array} ight.)

若存在实数(x_1,) (x_2,)(x_3,) (x_4)，满足(x_1)(<x_2)(<x_3)(<x_4)，且(f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4))，则(cfrac{x_3+x_4}{x_1x_2})的值为_____________。

分析：做出示意图如下所示，

由图可知，(x_1in (0,1))，(x_2in (1,2))，又由(f(x_1)=f(x_2))，即(|log_2x_1|=|log_2x_2|)，

即(-log_2x_1=log_2x_2)，即(log_2x_1+log_2x_2=0)，则(log_2x_1x_2=0)，即(x_1x_2=1)；

又第二段函数图像关于直线(x=6)对称，即(x_3,x_4)关于直线(x=6)对称，

故有(x_3+x_4=2 imes 6=12)；故(cfrac{x_3+x_4}{x_1x_2}=12)；