前言
圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线；但由于圆和椭圆有近亲关系，都是封闭曲线，且椭圆的两个焦点合二为一时，椭圆就变成了圆；双曲线和抛物线都是非封闭曲线，这两个和前两个的区别就挺大了。
基础知识
- 直线(l)和圆锥曲线(C)的位置关系
1、从几何角度看，直线(l)和圆锥曲线(C)的位置关系可以分为三类：①无公共点；②仅有一个公共点；③有两个相异的公共点；
2、从数的角度看，可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线(l)的方程(Ax+By+C=0) ((A^2+B^2 eq 0)，或者说(A)，(B)不同时为(0))，代入圆锥曲线(C)的方程(F(x，y)=0)中，消去(y)(或者(x))得到一个关于变量(x)(或者变量(y))的一元方程(仿二次方程)，即由(left{egin{array}{l}{Ax+By+C=0}\{F(x，y)=0}end{array} ight.)，消去(y)得到(ax^2+bx+c=0)；
（1）当(a eq 0)时，设一元二次方程(ax^2+bx+c=0)的判别式为(Delta)，则有
(Delta >0) (Leftrightarrow) 直线(l)与圆锥曲线(C)相交于不同的两点；
(Delta =0) (Leftrightarrow) 直线(l)与圆锥曲线(C)相切；
(Delta <0) (Leftrightarrow) 直线(l)与圆锥曲线(C)相离，无公共点；
（2）当(a=0)，(b eq 0)时，即得到一个一次方程，则直线(l)与圆锥曲线相交，且只有一个交点；此时
若(C)为双曲线，则直线(l)与双曲线(C)的渐近线的位置关系是平行；
若(C)为抛物线，则直线(l)与抛物线(C)的对称轴的位置关系是平行或者重合；
典例剖析
法1：从数的角度思考分析，类比(y=kx+1)恒过定点((0，1))的方法思路，令(y=0)，得到(x^2=1)，故上述曲线恒过定点((pm 1，0));
法2：从形的角度思考分析，变形得到(cfrac{x^2}{1}+cfrac{y^2}{frac{1}{lambda}}=1)，用动态的观点思考，当(lambda)变化时，椭圆或者双曲线与(x)轴的交点坐标((-1，0))和((1，0))始终不变，故曲线恒过定点((pm 1，0));
法1：常规方法求解，(angle AOB=cfrac{pi}{2})
法2：特殊化策略思考，当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时，应该没有改变题目中的已知条件，故可以思考用特殊化策略，此时能轻松得到(angle AOB=cfrac{pi}{2})；
分析：椭圆上任意一点的坐标的参数方程为((sqrt{5}cos heta，sin heta))，( hetain [0，2pi))，
则(x+y=sqrt{5}cos heta+sin heta=sqrt{6}sin( heta+phi))，故(x+yin [-sqrt{6}，sqrt{6}]);
解后反思：椭圆的参数方程的优越性；变量集中；三角函数；求值域中的三角换元；知一求二类[((sinx+cosx)，(sinx-cosx)，(sinxcdot cosx))(奇偶性，周期性，对称性)]
法一：从数的角度思考，常规方法，将直线(y=kx-k+1)代入椭圆(cfrac{x^2}{9}+cfrac{y^2}{4}=1)中，[注意运算技巧]
化简整理为((9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0)，(Delta =cdots=1152k^2+288k+4 imes 108>0)，
则直线和椭圆相交，故选(A)。
法2：从形的角度思考，将直线变形为(y-1=k(x-1))，则可知其恒过定点((1，1))，
将((1，1))代入(cfrac{x^2}{9}+cfrac{y^2}{4})，得到(cfrac{1^2}{9}+cfrac{1^2}{4}<1)，即点((1，1))在椭圆内，
则直线和椭圆必然相交，故选(A)。
相关阅读： 1、曲线或函数恒过定点；
分析：特殊化策略，当点(M)位于椭圆的上下顶点位置时，(angle F_1MF_2)最大，最大值为(cfrac{pi}{3})。
- 直线与曲线交于一点的误区：
分析：如图所示，过点((0，1))做直线，和抛物线仅有一个公共点时，这样的直线有切线和非切线两种情形：
当为切线时，其一为直线(x=0)，此时直线无斜率；其二为(y=kx+1)，设切点为((x_0，y_0))，则
(left{egin{array}{l}{y_0=kx_0+1}\{y_0^2=4x_0}\{k=frac{1}{sqrt{x_0}}}end{array} ight.)，解得(x_0=cfrac{1}{2})，(y_0=sqrt{2})，(k=2(sqrt{2}-1))，
故另一条切线为(y=(2sqrt{2}-1)x+1)；
当为非切线时，直线为(y=1)，故这样的直线分别为(x=0)，(y=1)，(y=(2sqrt{2}-1)x+1)；
分析：由于直线和渐近线平行，故只能有一个交点。
法1：判别式法，利用(Delta=0)，得到(m^2=2k^2+3)；
法2：平行线法。
【法1】：常规方法，利用两点间距离公式，由于(2p=3)，则(cfrac{p}{2}=cfrac{3}{4})，故焦点(F(cfrac{3}{4}，0))，又斜率为(k=cfrac{sqrt{3}}{3})，
则直线(AB)的方程为(y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4}))，
联立直线(AB)和抛物线方程，得到(left{egin{array}{l}{y^2=3x}\{y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4})}end{array} ight.)，
消(y)得到(16x^2-24 imes7x+9=0)，设点(A(x_1，y_1))，点(B(x_2，y_2))，
则(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(x_1x_2=cfrac{9}{16})，
故(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12)。
【法2】：利用直线(AB)的参数方程的参数的几何意义，
直线(AB)的参数方程为(egin{cases}x=cfrac{3}{4}+cfrac{sqrt{3}}{2}t\y=0+cfrac{1}{2}tend{cases}(t为参数))，将其代入(y^2=3x)中，
整理得到(t^2-6sqrt{3}t-9=0)，设(A)，(B)对应的参数分别为(t_1)，(t_2)，
则(Delta>0)，且有(t_1+t_2=6sqrt{3})，(t_1t_2=-9)，
故(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{36 imes3-4 imes(-9)}=12)。
【法3】：利用抛物线的定义可知，(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+cfrac{p}{2}+x_2+cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p)，
故由法1中，得到(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(p=cfrac{3}{2})，即(|AB|=x_1+x_2+p=12)。
法4：利用抛物线的焦点弦长公式：(|AB|=frac{2p}{sin^2alpha})，则(|AB|=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{1}{2})^2}=12)。
分析：由题意可知，直线(l)的方程为(y-1=k(x+2))，
由方程组(left{egin{array}{l}{y-1=k(x+2)}\{y^2=4x}end{array} ight.)（*）
消去(x)得到，(ky^2-4y+4(2k+1)=0)① [注意，此为仿二次方程]
当(k=0)时，由方程①可得(y=1)，代入(y^2=4x)，得到(x=cfrac{1}{4})，即此时直线和抛物线只有一个公共点((cfrac{1}{4}，1))，二者位置关系为相交；
当(k eq 0)时，方程①的判别式为(Delta=-16(2k^2+k-1))；
由(Delta=0)，即(2k^2+k-1=0)，解得(k=-1)或(k=cfrac{1}{2})，此时方程①只有一个解，则方程组（*）也只有一个解，则直线和抛物线只有一个公共点，二者位置关系为相切；
由(Delta>0)，即(2k^2+k-1<0)，解得(-1<k<cfrac{1}{2})，于是当(-1<k<cfrac{1}{2})且(k eq 0)时，方程①有两个解，则方程组（*）也有两个解，则直线和抛物线有两个公共点，此时二者位置关系为相交；
由(Delta<0)，即(2k^2+k-1>0)，解得(k<-1)或(k>cfrac{1}{2})，于是当(k<-1)或(k>cfrac{1}{2})时，方程①没有实数解，则方程组（*）没有实数解，则直线和抛物线没有公共点，此时二者位置关系为相离；
综上所述，当(k=-1)或(k=cfrac{1}{2})或(k=0)时，直线和抛物线只有一个公共点；
当(-1<k<cfrac{1}{2})且(k eq 0)时，则直线和抛物线有两个公共点；
当(k<-1)或(k>cfrac{1}{2})时，则直线和抛物线没有公共点；