平行直问题的转化关系示意图
前 言
完善三种语言：文字语言，图形语言，符号语言
以及变换场景的应用情形；
判定难点
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主从关系的转换，比如证明(A_1F// DE)不容易时，我们转而证明(DE// A_1F)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
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区分清楚判定定理和性质定理。
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平行关系的相互转化，
常识储备
(1)体对角线(B'Dperp)平面(ACD')(如图1)
证明：令体对角线(B'D)和平面(ACD')的交点是(N)，由正四面体(B'-ACD')可知，
(N)是三角形底面的中心，连接(OD')，则易知(ACperp BD)，(ACperp BB')，故(ACperp B'D)，
同理(AD'perp B'D)，故体对角线(B'Dperp)平面(ACD')。
(2)(DN=cfrac{1}{3}B'D)(如图1，利用等体积法)
(3)平面(ACD'//A'BC')(如图2)
(4)平面(ACD')与平面(A'BC')的间距是(cfrac{1}{3}B'D)，即体对角线的(cfrac{1}{3})(如图2)
(5)三棱锥(B'-ACD')是正四面体。三棱锥(D-ACD')是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为(2a)，则正方形的内切圆半径为(a)，正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{2})；
正方体的棱长设为(2a)，则正方体的内切球半径为(a)，正方体的外接球半径为(sqrt{3}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{3})；
(9)正三角形的棱长设为(2a)，则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a)，正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a)，三者的关系之比为(2sqrt{3}:1:2)；
正四面体的棱长设为(2a)，则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a)，正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a)，三者的关系之比为(2sqrt{6}:1:3)；
典例剖析
- 线线平行
分析：由于题目中给定点(O)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心(E)，如图所示，
当连结(CE)时，我们就很容易看出(A_1O//CE)，以下做以说明；
由于(OC//A_1E)，且(OC=A_1E)，则可知(A_1O//CE)，
又由于(A_1O ot subset 面B_1CD_1)，(CE subset 面B_1CD_1)，故(A_1O//平面B_1CD_1) ，故选(C)，
此时，我们也能轻松的排除(A)，(B)，(D)三个选项是错误的。
- 线面平行
求证：(1)直线(DE//)平面(A_1C_1F).
分析：现在需要(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)内的某直线(?)
某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。
证明：因为(D)、(E)分别是(AB)、(BC)的中点，则有(DE//AC//A_1C_1)，
又因为直线(A_1C_1subsetneqq)平面(A_1C_1F)，
(DE otsubseteq)平面(A_1C_1F)，则直线(DE//)平面(A_1C_1F)。
求证(2)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F).
分析：(Leftarrow)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)一个面内的某条直线(perp)另一个面内的两条相交直线。
此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线(A_1F)，
那么此时就需要在另一个平面(B_1DE)内找两条相交直线，且都要能证明和直线(A_1F)，
如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，
思路一大致为：(A_1Fperpegin{cases}B_1D\ DEend{cases})，
从而转证(DEperp A_1F)，从而转证(A_1C_1perp A_1F)，
从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1)，
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases})；
思路二大致为：(B_1Dperpegin{cases}A_1F\ A_1C_1end{cases})，
从而转证(A_1C_1perp B_1D)，
从而转证(A_1C_1perp)包含(B_1D_1)的平面(ABB_1A_1)，
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases})；
证明：你能自主写出证明过程吗？
【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明(A_1Fperp DE)时，包含了视角上的转换，如证明(A_1Fperp DE)不容易时，我们转而证明(DEperp A_1F)，即转证(A_1C_1perp A_1F)，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1)，
分析：在棱(PC)上存在一点(F)，(F)为(PC)的中点，使得(BF//)面(AEC)，理由如下：
取(PE)的中点(H)，(PC)的中点(F)，联结(BF)、(HF)、(BH)，联结(AC)和(BD)，交点为(O)，
则由(HF)是(Delta PEC)的底边(EC)的中位线，故(HF//EC)；
由(EO)是(Delta DBH)的底边(BH)的中位线，故(BH//EO)；
(说明：这样的话，平面(BHF)内的两条相交直线(HF)和(BH)分别平行与另一个平面(AEC)内的两条相交直线(EO)和(EC)，则这两个平面就平行）
又由于(HFsubsetneqq)平面(BHF)，(BHsubsetneqq)平面(BHF)，(BHcap HF=H)，
(EOsubsetneqq)平面(AEC)，(ECsubsetneqq)平面(AEC)，(EOcap EC=E)，
则平面(BHF//)平面(AEC)，
又(BFsubsetneqq)平面(BHF)，
则有(BF//)平面(AEC)，猜想得证。
- 面面平行
(1).在图中作出平面(MNPQ)，使面(MNPQ//面SAD)(不要求证明)；
分析：如图所示，点(P、Q)分别是线段(CD、AB)的中点，联结(NP、PQ、QM)所得的平面即为所求做的平面。
反思总结：1、一般的考法是题目作出这样的平面，然后要求我们证明面面平行，现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面，应该是要求提高了。
2、注意图中的线的虚实。
(2).【文】若(|overrightarrow{AB}|=4)，在(1)的条件下求多面体(MNCBPQ)的体积。
【理】若(overrightarrow{AQ}=lambda overrightarrow{AB})，是否存在实数(lambda)，使二面角(M-PQ-B)的平面角大小为(60^{circ})？若存在，求出(lambda)的值；若不存在，请说明理由。
【文科】法1：<img src="http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201801/992978-20180121211933349-425986972.png" / >
如图所示，连接(PB、NB)，有题目可知在(1)的情形下，平面(MNPQ)与平面(ABCD)垂直，由题目可知，(AB=4)，(BC=PC=2)，(SD=2)，(NP=1)，
则(SDperp面ABCD)，(NP//SD)，则(NPperp 面ABCD)，
(Delta PCB)是边长为2的等边三角形，则(V_{N-PBC}=cfrac{1}{3}cdot S_{Delta PBC}cdot |NP|=cfrac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 4cdot 1=cfrac{sqrt{3}}{3})
由(MN//BC)，(MN perp面SAD)，面(MNPQ)是直角梯形，(MN=NP=1)，(PQ=2)
连接(BD)交(PQ)于点(H)，在(Delta ABD)中，由余弦定理可知，(BD=2sqrt{3})，(AB^2=AD^2+BD^2)，则(BDperp AD)
即(BHperp PQ)，且(BHperp NP)，故(BHperp 面MNPQ)，
(V_{B-MNPQ}=cfrac{1}{3}cdot S_{MNPQ}cdot |BH|=cfrac{1}{3}cdot cfrac{(1+2)cdot 1}{2}cdot sqrt{3}=cfrac{sqrt{3}}{2})
故(V_{MNCBPQ}=V_{B-MNPQ}+V_{N-PBC}=cfrac{sqrt{3}}{2}+cfrac{sqrt{3}}{3}=cfrac{5sqrt{3}}{6})。
法2：
待补充。
【理科】待补充。