三角模板函数使用示例

前言

模板函数

• 核心的模板函数(y=sinx)，其性质如下：

定义域：(xin R)；

值 域：(y=sinxin [-1，1])

单调性：单增区间 ([2kpi-cfrac{pi}{2}，2kpi+cfrac{pi}{2}](kin Z))； 单减区间 ([2kpi+cfrac{pi}{2}，2kpi+cfrac{3pi}{2}](kin Z))；

奇偶性：奇函数；(sin(-x)=-sinx)；

周期性：(T=2pi)；

对称性：对称轴(x=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))；对称中心((kpi，0)(kin Z))；

零 点：(x=kpi (kin Z))；

最 值：(x=2kpi+cfrac{pi}{2})时，(y_{max}=1)；(x=2kpi-cfrac{pi}{2})时，(y_{min}=-1)；

五点法作图：

(x)	(0)	(cfrac{pi}{2})	(pi)	(cfrac{3pi}{2})	(2pi)
(f(x)=sinx)	(0)	(1)	(0)	(-1)	(0)
(点的坐标)	((0,0))	((cfrac{pi}{2}，1))	((pi,0))	((cfrac{3pi}{2},-1))	((2pi,0))

效果图如下：

使用示例

当研究清楚了上述的函数(y=sinx)的性质后，我们就能够以此为依托，研究更复杂的正弦型函数的各种性质了。

我们以(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)为例子加以说明；

定义域：(xin R)；

值域：由于(-1leqslant sin(2x+cfrac{pi}{6})leqslant 1)，

故((-1) imes 2+1leqslant 2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1leqslant 1 imes 2+1)，即(-1leqslant yleqslant 3)；

单调性：由于(2)倍和后边的(+1)不影响单调性，故利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求单调区间；

令(2kpi-cfrac{pi}{2}leqslant 2x+cfrac{pi}{6}leqslant 2kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，

解得单调递增区间为([kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{6}])，((kin Z))；

令(2kpi+cfrac{pi}{2}leqslant 2x+cfrac{pi}{6}leqslant 2kpi+cfrac{3pi}{2})，(kin Z)，

解得单调递减区间为([kpi+cfrac{pi}{6}，kpi+cfrac{2pi}{3}])，((kin Z))；

奇偶性：由于(f(0) eq 0)，且(f(0))没有取到最值，故函数没有奇偶性；

周期性：(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；

对称性：比如求对称轴方程，此时后边的(+1)不影响其对称性，前边的2倍也不影响，

故利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求对称轴方程，

令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，解得对称轴方程为：(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{6}(kin Z))，

求对称中心，先利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求对称中心，最后补充(+1)；

令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi(kin Z))，解得(x=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}(kin Z))，

故对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}，1)(kin Z))

零点：令(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1=0)，即(sin(2x+cfrac{pi}{6})=-cfrac{1}{2})，

则(2x+cfrac{pi}{6}=2kpi-cfrac{pi}{6}(kin Z))或(2x+cfrac{pi}{6}=2kpi-cfrac{5pi}{6}(kin Z))

即(x=kpi-cfrac{pi}{6}(kin Z))或(x=kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z))，

最值：(y_{min}=-1)，(y_{max}=3)

五点法作图：自定周期的起止点；函数为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)

(x)	(-cfrac{pi}{12})	(cfrac{2pi}{12}=cfrac{pi}{6})	(cfrac{5pi}{12})	(cfrac{8pi}{12}=cfrac{2pi}{3})	(cfrac{11pi}{12})
(2x+cfrac{pi}{6})	(0)	(cfrac{pi}{2})	(pi)	(cfrac{3pi}{2})	(2pi)
(sin(2x+frac{pi}{6}))	(0)	(1)	(0)	(-1)	(0)
(f(x))	(1)	(3)	(1)	(-1)	(1)
(点的坐标)	((-cfrac{pi}{12},1))	((cfrac{pi}{6},3))	((cfrac{5pi}{12},1))	((cfrac{2pi}{3},-1))	((cfrac{11pi}{12},1))

效果图如下：

例1【题定周期的起止点】求函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)在区间([0，pi])上的函数图像；

分析：在上题作图的基础上修正如下即可，

(x)	(0)	(cfrac{2pi}{12}=cfrac{pi}{6})	(cfrac{5pi}{12})	(cfrac{8pi}{12}=cfrac{2pi}{3})	(cfrac{11pi}{12})	(pi)
(2x+cfrac{pi}{6})	(cfrac{pi}{6})	(cfrac{pi}{2})	(pi)	(cfrac{3pi}{2})	(2pi)	(cfrac{13pi}{6})
(sin(2x+frac{pi}{6}))	(cfrac{1}{2})	(1)	(0)	(-1)	(0)	(cfrac{1}{2})
(f(x))	(2)	(3)	(1)	(-1)	(1)	(2)
(坐标)	((0,2))	((cfrac{pi}{6},3))	((cfrac{5pi}{12},1))	((cfrac{2pi}{3},-1))	((cfrac{11pi}{12},1))	((pi,2))

效果图如下：待整理；