古典概型中的几何体计数

前言

一、计数策略

• 注意三个维度；

• 利用类比思维；

• 注意剔除重复情形；

二、典例剖析

例1已知正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的六个面的中心分别为(E)，(F)，(G)，(H)，(I)，(J)，甲从这6个点任选2个点连成直线(l_1)，乙也从这6个点任选2个点连成与直线(l_1)垂直的直线(l_2)，则(l_1)与(l_2)异面的直线的概率是___________。

分析：先做出正方体，以及六个面的中心，如下图所示，

然后将这六个中心两两相连，得到线段为(C_6^2=15)条，如下图所示，外观是个正八面体。

接下来，我们先考虑(l_1perp l_2)的所有情形，为便于计数，我们对线段依次编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮；

(1^{circ})，绕(z)轴方向，即上下方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑮垂直的直线有：⑨，⑩，⑪，⑫，⑬，⑭，共有6对；

以及在(yoz)平面中，相互垂直的直线有①③；③⑤；⑤⑦；①⑦，共有4对；

(2^{circ})，绕(x)轴方向，即前后方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑬垂直的直线有：①，③，⑤，⑦，⑭，共有5对；

以及在(xoz)平面中，相互垂直的直线有②④；④⑧；⑥⑧；②⑥；共有4对；

(3^{circ})，绕(y)轴方向，即左右方向的维度上，相互垂直的直线有：

和⑭垂直的直线有：②，④，⑥，⑧，共有4对；

以及在(xoy)平面中，相互垂直的直线有⑨⑩；⑩⑪；⑪⑫；⑨⑫；共有4对；

故所有情形有(6+5+4+3 imes 4=27)，其中属于异面垂直的直线有：每个维度上有4对，三个维度，共有12对，

故所求概率为(P=cfrac{12}{27}=cfrac{4}{9})。

例2如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率是__________。

分析：我们容易判断该问题是古典概型，分母是(C_8^4)，难点是分子的确定。如图所示，我们选其中一个顶点，比如选(A)，

则过点(A)有三个维度，上下，左右，前后，先选定一个维度，比如上下，由于点(A)在上底面，故我们在下底面中寻找，自然先找到点(A')，再找到点(B')，最后找到点(C')，这样一个“三节棍体”的四面体就得到了，我们先判断一下为什么四面体(A-A_1B_1C_1)称为“三节棍体”的四面体，然后回头思考其中的三节棍是哪些线段？(AA_1)，(A_1B_1)，(B_1C_1)，这三条线段的特点为两两垂直。

当选了点(A)后，在下底面就不会选(B_1)、(C_1)、(D_1)三个点，而会接着选(A1)、(D_1)、(C_1)三个点，得到“三节棍体”的四面体(A-A_1D_1C_1)，于是在一个维度上有2个符合题意的“三节棍体”，那么在三个维度上共有(3 imes2=6)个“三节棍体”；同理，类似点(A)的顶点共有8个，故共有“三节棍体”的个数为(6 imes 8=48)个；

接下来考虑是否有重复的情形，其实上述的情形刚好重复了一倍，比如当顶点为(C_1)时，得到的“三节棍体”(C_1-A_1D_1A)和(A-A_1D_1C_1)是相同的，这样应该有(cfrac{1}{2} imes 48=24)，

故所求概率为(P=cfrac{24}{C_8^4}=cfrac{12}{35})。