SLAM入门之视觉里程计(5)：单应矩阵

在之前的博文OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，介绍调用OpenCV中的函数，通过4对对应的点的坐标计算两个图像之间单应矩阵(H)，然后调用射影变换函数，将一幅图像变换到另一幅图像的视角中。当时只是知道通过单应矩阵，能够将图像1中的像素坐标((u_1,v_1))变换到图像2中对应的位置上((u_2,v_2))，而没有深究其中的变换关系。

单应(Homography)是射影几何中的概念，又称为射影变换。它把一个射影平面上的点(三维齐次矢量)映射到另一个射影平面上，并且把直线映射为直线，具有保线性质。总的来说，单应是关于三维齐次矢量的一种线性变换，可以用一个(3 imes3)的非奇异矩阵(H)表示

[x_1 = Hx_2 ]

这是一个齐次坐标的等式，(H)乘以一个非零的比例因子上述等式仍然成立，即(H)是一个(3 imes3)齐次矩阵，具有8个未知量。

假设已经取得了两图像之间的单应，则可单应矩阵(H)可以将两幅图像关联起来

[left(egin{array}{c}u_1\v_1\1end{array} ight) = Hleft(egin{array}{c}u_2\v_2\1end{array} ight) ]

其中，((u_1,v_1,1)^T)表示图像1中的像点，((u_2,v_2,1)^T)是图像2中的像点，也就是可以通过单应矩阵(H)将图像2变换到图像1，如下图。这有了很多实际的应用，例如图像的校正、对齐以及在SLAM中估计两个相机间的运动。

同一相机在不同的位姿得到同一平面的图像

假设使用同一相机在不同的位姿拍摄同一平面，如下图：

上图表示场景中的平面(pi)在两相机的成像，设平面(pi)在第一个相机坐标系下的单位法向量为(N)，其到第一个相机中心（坐标原点）的距离为(d)，则平面(pi)可表示为：

[N^TX_1 = d ]

即

[frac{1}{d}N^TX_1 = 1,forall X_1 in pi ]

其中，(X_1)是三维点(P)在第一相机坐标系下的坐标，其在第二个相机坐标系下的坐标为(X_2)，则

[X_2 = RX_1 + T ]

将上面式子结合起来，

[X_2 = RX_1 + Tfrac{1}{d}N^TX_1=(R+Tfrac{1}{d}N^T)X_1=H'X_1 ]

所以就得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵

[H' = R+Tfrac{1}{d}N^T ]

上面提到单应表示的是两个平面之间的映射，这里为何得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵。虽然平面是通过，但是在不同坐标系中会有不同的表示，单应也是将平面从一个位置映射到另一个位置，并保持其某些性质不变，例如保线性。[image]

上面得到的单应矩阵第一个相机坐标系取得，还需要将其变换到成像平面坐标系中，取得两图像间的单应矩阵。设(x_1,x_2)为(P)在两图像的像点坐标，

[x_1 = KX_1,x_2 = KX_2 ]

(K)是相机的内参数，代入上面求得单应变换公式

[K^{-1}x_2 = HK^{-1}x_1 Longrightarrow x_2 = KH'K^{-1}x_1=K(R+Tfrac{1}{d}N^T)K^{-1}x_1 ]

所以，同一平面得到的两个图像间的单应矩阵(H)为

[H = K(R+Tfrac{1}{d}N^T)K^{-1} ]

平面的单应和对极约束的区别

两图像间的单应矩阵后，有什么作用呢？它和两幅图像间的对极约束有何区别

两图像间的对极约束和场景的结构无关，也就是说对极约束对于任意场景结构的两幅图像都是成立的，不能给出两幅图像上的像点的一一对应关系，只能给出点对应的必要条件，另一幅图像上与图像上对应的像点在位于对应的对极线上。基础矩阵(F)描述的实际是一种点和直线的映射关系，而不是一种点对点的约束关系，并不能给出另一个点的确切位置。

平面间的单应，并不像对极约束完全不需要场景的结构信息，它对场景的结构有了要求：场景的点必须在同一个平面上，因此单应矩阵(H)也就能够对两图像上对应点的提供更多的约束，知道了某点在一幅图像的像点位置后，可以通过单应矩阵，求得其在另一幅图像中像点的确切位置。

也就说，三维点如果不是在同一个平面上，可以使用基础矩阵(F)来计算图像上像点在另一幅图像上对应的对极线，而不能使用单应矩阵(H)得到对应点的确切位置。但如果在这种情况下，仍使用单应矩阵(H)计算对应点的位置，其结果会如何呢，如下图

通过平面(P)在两图像上的匹配点，计算得到了其两图像间的单应矩阵(H)。三维点(p')并不在平面(P)上，其在图像1中的像点为(x_1)，使用单应矩阵(H)计算其在图像2中对应的像点。从上图可以看出，(p')在图像2上的像点是(x_2')，而使用单应矩阵计算得到的像点却是(x_2)。

在这种情形下，使用单应矩阵(H)估计图像上对应点位置，误差来自两个方面：

• 三维点(p')和单应矩阵(H)对应的平面(P)之间的距离。
  从上图可知使用(H)计算(p')像点位置时，实际得到的是却是平面(P)上的点(p)在图像2的像点，而(p)是相机1的中心(O_1)和(p')确定的直线和平面(P)的交点。
• 相机2相对于相机1的平移。
  具体分析可看下一小节相机只有旋转无平移下的单应。

也就是说，在相机的平移相对于场景的深度足够小时，仍然可以使用单应矩阵(H)来计算图像中匹配像点的对应位置。

该段分析多数参考Homography 知多少？

相机只有旋转无平移下的单应

当相机在只有旋转而没有平移的情况下取得同一场景的两幅图像，可以使用单应矩阵(H)来描述这两图像之间的关系。

通过前面的文章知道，相机在不同位姿下取得同一场景的图像，可以使用基础矩阵(F)描述两图像像点之间的约束关系。这里的不同位姿指的是相机要有旋转和平移，但如果相机之间只有旋转无平移，图像的像点之间又有怎样的约束关系呢，单应矩阵(H)又和前面提到的基础矩阵(F)，有何不同。

假设得到两幅图像的相机之间只有旋转，而没有平移(t = (0,0,0)^T)，有：

[p_1 = KP ,p_2 = KRP ]

其中,(K)是相机的内参，(p_1,p_2)分别是两图像的像点，(P)在相机坐标系下的三维点坐标，以第一个相机的中心为坐标原点。
从上面公式可得到

[P=K^{-1}p_1,p_2 = KRK^{-1}p_1 ]

又有两个图像间的单应(p_2 = Hp_1)，所以就有：

[H = KRK^{-1} ]

也就是在相机只有旋转的情况下，可像求解两图像间的单应矩阵(H)，然后可从(H)中分解得到相机的内参数(K)，以及旋转矩阵(R)。
基础矩阵(F=K^{-T}t_{ imes}RK^{-1})（具体推导过程可参看：SLAM入门之视觉里程计(3)：两视图对极约束 基础矩阵 ），而由于相机的平移向量(t = (0,0,0)^T)，可知基础矩阵(F)为零矩阵，也就是说

• 在相机只有旋转而没有平移的情况下，两视图的对极约束就不再适用，这时可以使用单应矩阵(H)来描述两个图像像点的对应关系。
• 在这种情况下，两图像点的匹配不依赖于三维点的深度信息，无法使用三角法重构出三维点在世界坐标系中的三维坐标。

通过匹配的点对计算单应矩阵

两图像上的像点(p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2))是一对匹配的点对，其单应矩阵为(H)，则有

[left(egin{array}{c}x_2\y_2\1end{array} ight)=left(egin{array}{ccc}H_{11}&H_{12}&H_{13}\H_{21}&H_{22}&H_{23}\H_{31}&H_{32}&H_{33}end{array} ight)left(egin{array}{c}x_1\y_1\1end{array} ight)Leftrightarrow p_2= Hp_1 ]

将矩阵的乘法展开，即可得到

[left{ egin{array}{c} x_2 = H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} \ y_2 = H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23} \ 1 = H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33} end{array} ight. ]

方便求解，可以将上面等式变换为(Ax = 0)的形式，做如下变换
第一和第二个式子的左右两边同时乘以第三个式子的左右两边得到

[x_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})=H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} \ y_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})=H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23} ]

将式子的右边变为0

[x_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})-H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} = 0 \ y_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})-H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23} = 0 ]

将上面的等式改写为向量积的形式，令(h=(H_{11}, H_{12},H_{13},H_{21},H_{22},H_{23},H_{31},H_{32},1)^T)，单应矩阵(H)是一个齐次矩阵，可以将其最后一个元素归一化为1。
则上面两个式子可以改写为

[a_xh = 0\ a_yh = 0 ]

其中,(a_x = (-x_1,-y_1,0,0,0,x_2x_1,x_2y_1,x_2)^T)，(a_y=(0,0,0,-x_1,-y_1,-1,y_2x_1,y_2y_1,y_2)^T)

一对匹配的点对，可以得到上述等式，(H)有8个未知量，也就说最少4对匹配的点对(任意3点不共线)，就可以求出两幅图像的单应矩阵(H)。但是通常来说，图像的匹配点对要超过4对，设得到了(n)对匹配的点对，可以得到如下的等式

[Ah = 0，其中 A = left(egin{array}{c} a_{x1}^T\a_{y1}^T\a_{x2}^T\a_{y2}^T\ vdots \ a_{xn}^T\a_{yn}^T end{array} ight) ]

具体求解方法，可以参考SLAM入门之视觉里程计(4)：基础矩阵的估计，首先将图像坐标归一化，然后使用最小二乘法或者随机采样一致性(RANSAC)的方法估计得到单应矩阵(H)。

在OpenCV 中也封装了各种求解单应矩阵的方法，具体的使用可以参考OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，通过求解两图像的单应矩阵，将图像变换到同一个视角下，然后叠加到一起。

总结

相比于两视图的基础矩阵（本质矩阵）来说，两图像的单应矩阵比较难理解一些。针对本文，总结以下几点

• 使用场景

  • 基础矩阵表示的是两视图的对极约束，和三维场景的结构无关，只依赖于相机的内参数以及外参数，需要两个相机的位置有旋转和平移
  • 单应矩阵对场景的三维结构有了更多的要求，需要场景中的点在同一个平面上； 或者是，对相机的位姿有了要求，两个相机之间只有旋转而无平移

• 约束关系

  • 基础矩阵表示的像点和另一幅图像上的对极线的映射关系，使用基础矩阵无法得到像点对应点在另一幅图像上的确切位置。
  • 单应矩阵则是点和点的映射，使用单应矩阵可以找到像点在另一幅图像上对应点的确切位置。

• 使用单应矩阵而不是基础矩阵

  • 相机只有旋转而无平移的时候，两视图的对极约束不成立，基础矩阵(F)为零矩阵，这时候需要使用单应矩阵(H)
  • 场景中的点都在同一个平面上，可以使用单应矩阵计算像点的匹配点。
  • 相机的平移距离相对于场景的深度较小的时候，也可以使用单应矩阵(H)。