[BZOJ]4071: [Apio2015]巴邻旁之桥

题解:     首先 明确 如果处于同一区域时  直接统计贡献即可 不用过桥

　　　　对k分情况讨论:

　　　　　　当k=1时  假设桥的位置是 p 那么

　　　　　　　　$$ sum_{i=1}^n |x_i-p|+|y_i-p| $$

　　　　      很显然当对于 所有x,y排序后的中位数是最优的选择位置 具体证明可以模拟一下

　　　　　　当k=2时 假设桥的位置是$p_1$和$p_2$

　　　　　　　　$$ sum_{i=1}^n minleft ( |x_i-p_1|+|y_i-p_1|,|x_i-p_2|+|y_i-p_2| ight ) $$

　　　　　　然后对于一个区间[x,y]我们考虑用其中位数表示  为什么能用中位数表示呢  我们考虑  当桥在区间外面是  $$ 2|p-frac{x+y}{2}| $$ 然后我们就成功得把一个区间用一个点来代替 这样的好处就是 对于这n个区间 用n个点来描述 然后对于两座桥的选择  我们很直观的可以看出  对于中位数排序后的前面部分和后面部分各用一座桥是最优的  对于每部分用一座桥的考虑办法就回到了 $ k=1 $的情况 问题模型转化成加入2个点动态维护中位数  然后倒过来 删除2个点维护中位数的模型   我们考虑用主席树去做这个题 也可以用splay做

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MAXN=4e5+10;
const double eps=1e-8;
#define ll long long
const int inf=1e9+10;
using namespace std;
struct edge{int t,v;edge*next;}e[MAXN<<1],*h[MAXN],*o=e;
void add(int x,int y,int vul){o->t=y;o->v=vul;o->next=h[x];h[x]=o++;}
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

int pre[MAXN],ch[MAXN][2],key[MAXN],rt,cnt,sz[MAXN];
ll sum[MAXN];
void Treavel(int x)
{
    if(x)
    {
        Treavel(ch[x][0]);
        printf("结点%2d:左儿子 %2d 右儿子 %2d 父结点 %2d size=%2d key=%2d sum=%2lld
",x,ch[x][0],ch[x][1],pre[x],sz[x],key[x],sum[x]);
        Treavel(ch[x][1]);
    }
}
void debug(int rp)
{
    printf("root:%d
",rp);
    Treavel(rp);
}
void newnode(int &x,int t,int fa){
    x=++cnt;ch[x][0]=ch[x][1]=0;pre[x]=fa;
    key[x]=sum[x]=t;sz[x]=1;
}

void up(int x){
    sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+1;
    sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+key[x];
}

void rotate(int x,int kind){
    int y=pre[x];
    ch[y][!kind]=ch[x][kind];pre[ch[x][kind]]=y;
    if(pre[y])ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y]=x;
    pre[x]=pre[y];ch[x][kind]=y;pre[y]=x;
    up(y);
}

void splay(int x,int goal){
    while(pre[x]!=goal){
	if(pre[pre[x]]==goal)rotate(x,ch[pre[x]][0]==x);
	else{
	    int y=pre[x];int kind=ch[pre[y]][0]==y;
	    if(ch[y][kind]==x)rotate(x,!kind),rotate(x,kind);
	    else rotate(y,kind),rotate(x,kind);
	}
    }
    if(goal==0)rt=x;
    up(x);
}

void insert(int &x,int t,int fa){
    if(!x){newnode(x,t,fa);return ;}
    if(t<=key[x])insert(ch[x][0],t,x);
    else insert(ch[x][1],t,x);
    up(x);
}

int find1(int x,int k){
    if(sz[ch[x][0]]+1==k)return x;
    else if(k<=sz[ch[x][0]])return find1(ch[x][0],k);
    else return find1(ch[x][1],k-sz[ch[x][0]]-1);
}

int find2(int x,int k){
    if(key[x]==k)return x;
    else if(k<key[x])return find2(ch[x][0],k);
    else return find2(ch[x][1],k);
}

void erase(int k){
    splay(find2(rt,k),0);
    int t=sz[ch[rt][0]];
    splay(find1(rt,t),0);
    splay(find1(rt,t+2),rt);
    ch[ch[rt][1]][0]=0;
    up(ch[rt][1]);up(rt);
}


void inte(){
    newnode(rt,-inf,0);
    newnode(ch[rt][1],inf,rt);
    up(rt);
}

typedef struct node{
    int x,y;
}node;
bool cmp(node aa,node bb){return aa.x+aa.y<bb.x+bb.y;}
vector<int>vec;
node d[MAXN];
ll num[MAXN];



int main(){
    int op=read();int n=read();
    ll ans=0;int cnt1=0;
    char str1[11],str2[11];int x,y;
    inc(i,1,n){
	scanf("%s %d %s %d",str1,&x,str2,&y);
	if(str1[0]==str2[0])ans+=abs(y-x);
	else d[++cnt1]=(node){x,y};
    }
    ans+=cnt1;
    if(!cnt1){printf("%lld
",ans);return 0;}
    if(op==1){
	inc(i,1,cnt1)vec.pb(d[i].x),vec.pb(d[i].y);
	sort(vec.begin(),vec.end());
	int t=vec[cnt1-1];
	for(int i=0;i<vec.size();i++)ans+=abs(t-vec[i]);
	printf("%lld
",ans);
    }
    else{
	inte();
	sort(d+1,d+cnt1+1,cmp);
	inc(i,1,cnt1){
	    insert(rt,d[i].x,0);splay(cnt,0);
	    insert(rt,d[i].y,0);splay(cnt,0);
	    splay(find1(rt,1),0);splay(find1(rt,i+2),rt);
	    int t=ch[ch[rt][1]][0];
	    ll t1=sum[t];int t2=sz[rt]-2;
	    num[i]=1ll*key[t]*sz[t]-sum[t]+sum[rt]-sum[t]-1ll*(t2-sz[t])*key[t];
	}
	inc(i,1,cnt1-1){
	    erase(d[i].x);
	    erase(d[i].y);
	    splay(find1(rt,1),0);splay(find1(rt,cnt1-i+2),rt);
	    int t=ch[ch[rt][1]][0];
	    ll t1=sum[t];int t2=sz[rt]-2;
	    num[i]+=(1ll*key[t]*sz[t]-sum[t]+sum[rt]-sum[t]-1ll*(t2-sz[t])*key[t]);
	}
	ll minn=1e18;
	inc(i,1,cnt1)minn=min(minn,num[i]);
	printf("%lld
",minn+ans);
    }
    return 0;
}

　　

　　

4071: [Apio2015]巴邻旁之桥

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 416  Solved: 191
[Submit][Status][Discuss]

Description

 一条东西走向的穆西河将巴邻旁市一分为二，分割成了区域 A 和区域 B。

每一块区域沿着河岸都建了恰好 1000000001 栋的建筑，每条岸边的建筑都从 0 编号到 1000000000。相邻的每对建筑相隔 1 个单位距离，河的宽度也是 1 个单位长度。区域 A 中的 i 号建筑物恰好与区域 B 中的 i 号建筑物隔河相对。

城市中有 N 个居民。第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上，同时他的办公室坐落在 Qi 区域的 Ti 号建筑上。一个居民的房子和办公室可能分布在河的两岸，这样他就必须要搭乘船只才能从家中去往办公室，这种情况让很多人都觉得不方便。为了使居民们可以开车去工作，政府决定建造不超过 K 座横跨河流的大桥。

由于技术上的原因，每一座桥必须刚好连接河的两岸，桥梁必须严格垂直于河流，并且桥与桥之间不能相交。当政府建造最多 K 座桥之后，设 Di 表示第 i 个居民此时开车从家里到办公室的最短距离。请帮助政府建造桥梁，使得 D1+D2+⋯+DN 最小。

 

Input

输入的第一行包含两个正整数 K 和 N，分别表示桥的上限数量和居民的数量。

接下来 N 行，每一行包含四个参数：Pi,Si,Qi 和 Ti，表示第 i 个居民的房子在区域 Pi 的 Si 号建筑上，且他的办公室位于 Qi 区域的 Ti 号建筑上。

 

Output

输出仅为一行，包含一个整数，表示 D1+D2+⋯+DN 的最小值。

 

Sample Input

1 5
B 0 A 4
B 1 B 3
A 5 B 7
B 2 A 6
B 1 A 7

Sample Output

24