隐函数求导公式
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1：
设函数 (displaystyle F(x, y)) 在点 (displaystyle P(x_0, y_0)) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 (displaystyle F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) eq 0) ，则方程 (displaystyle F(x, y) = 0) 在点 (displaystyle (x_0, y_0)) 的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数 (displaystyle y=f(x)) ，它满足条件 (displaystyle y_0 = f(x_0)) ，并有
[cfrac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = - cfrac{F_x}{F_y} ag{1} label{eq1} ]公式 (displaystyle eqref{eq1}) 就是隐函数求导公式。
将方程 (displaystyle F(x, y) = 0) 所确定的函数 (displaystyle y = f(x)) 代入 (displaystyle F(x, y) = 0) ，的恒等式：
其左端可看作是 (displaystyle x) 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得：
因为 (displaystyle F_y) 连续，且 (displaystyle F_y (x_0, y_0) eq 0) ，所以存在 (displaystyle (x_0, y_0)) 的一个邻域，在这个邻域内 (displaystyle F_y eq 0) ，于是得
如果 (displaystyle F(x,y)) 的二阶偏导数也都连续，可以把等式 (displaystyle eqref{eq1}) 的两端看做 (displaystyle x) 的复合函数而再一次求导：
隐函数存在定理2：
设函数 (displaystyle F(x, y, z)) 在点 (displaystyle P(x_0, y_0, z_0)) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 (displaystyle F(x_0, y_0, z_0) = 0, \, F_z(x_0, y_0, z_0) eq 0) ，则方程 (displaystyle F(x, y, z) = 0) 在点 (displaystyle (x_0, y_0, z_0)) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (displaystyle z=f(x, y)) ，它满足条件 (displaystyle z_0 = f(x_0, y_0)) ，并有
[cfrac{partial z}{partial x} = - cfrac{F_x}{F_z} ,\, cfrac{partial z}{partial y} = - cfrac{F_y}{F_z} . ag{2} label{eq2} ]
例题：设 (displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0) ，求 (displaystyle cfrac{partial^2 z}{partial x^2}) .
解： 设 (displaystyle F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z) ，则 (displaystyle F_x = 2x, \, F_z = 2z - 4) .当 (displaystyle z eq 2) 时，应用公式 (eqref{eq2}) 得，
[cfrac{partial z}{partial x} = cfrac{x}{z - 2} onumber ]再一次对 (x) 求偏导数，得：
[cfrac{partial^2 z}{partial x^2} = cfrac{(2 - z) + x cfrac{partial z}{partial x}}{(2 - z)^2} = cfrac{(2 - z) + x left(cfrac{x}{2 - z} ight)}{(2 - z)^2} = cfrac{(2 - z)^2 + x^2}{(2 - z)^3} onumber ]
二、方程组的情形
隐函数存在定理3：
设函数 (displaystyle F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)) 在点 (displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 (displaystyle F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0, \, G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0) ，且偏导数所组成的函数行列式（或称为雅克比 (Jacobi) 式）
[J = cfrac{partial (F, G)}{partial (u, v)} = left| egin{array}{cc} cfrac{partial F}{partial u} & cfrac{partial F}{partial v} \ cfrac{partial G}{partial u} & cfrac{partial G}{partial v} end{array} ight| onumber ]再点 (displaystyle P(x_0, y_0, u_0, v_0)) 不等于零，则方程组 (displaystyle F(x, y, u, v)=0,G(x, y, u, v)=0) 在点 ((x_0, y_0, u_0, v_0)) 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 (displaystyle u = u(x, y), v = v(x, y)) ，它们满足条件 (displaystyle u_0 = u(x_0, y_0), v_0 = v(x_0, y_0)) ，并有
[egin{align} cfrac{partial u}{partial x} &= -cfrac{1}{J} cfrac{partial (F, G)}{partial (x, v)} = -cfrac{left| egin{array}{cc} F_x & F_v \ G_x & G_vend{array} ight|}{left| egin{array}{cc} F_u & F_v \ G_u & G_vend{array} ight|}, onumber \ cfrac{partial v}{partial x} &= -cfrac{1}{J} cfrac{partial (F, G)}{partial (u, x)} = -cfrac{left| egin{array}{cc} F_u & F_x \ G_u & G_xend{array} ight|}{left| egin{array}{cc} F_u & F_v \ G_u & G_vend{array} ight|}, onumber \ cfrac{partial u}{partial y} &= -cfrac{1}{J} cfrac{partial (F, G)}{partial (y, v)} = -cfrac{left| egin{array}{cc} F_y & F_v \ G_y & G_vend{array} ight|}{left| egin{array}{cc} F_u & F_v \ G_u & G_vend{array} ight|}, onumber \ cfrac{partial v}{partial y} &= -cfrac{1}{J} cfrac{partial (F, G)}{partial (u, y)} = -cfrac{left| egin{array}{cc} F_u & F_y \ G_u & G_yend{array} ight|}{left| egin{array}{cc} F_u & F_v \ G_u & G_vend{array} ight|}. onumber end{align} ag{3} label{eq3} ]