CF912D Solution

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题解

⭐：在有规律的矩阵中求最大值，可以考虑使用类最短路的搜索。

易得答案为(k)个格子覆盖次数和(div (n-r+1)^2)，因此只需找出覆盖次数最大的(k)个格子。所以——打表找规律！

格子((tx,ty))被覆盖的次数如下：设(x=min(tx,n-tx+1),y=min(ty,m-ty+1))（上下、左右对称），次数(=min(r,n-r+1,x)cdot min(r,m-r+1,y))。其实也可以推导得出：若矩形无限大，覆盖次数一定(=r^2)（网中所有位置均占一遍）；但矩形的边界限制其上下最多(x)个，左右最多(y)个；至于(n-r+1,m-r+1)则是行列最多覆盖次数，3者取(min)，乘积即为答案。

由上式得覆盖次数中间最大，四周最小。因此我们可以由((lceil frac{n}{2} ceil,lceil frac{m}{2} ceil))开始进行BFS，每次向上下左右扩展，并将扩展格子放入优先队列（大根堆）中。进行(k)次求和即可。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mp make_pair
using namespace std;
struct node 
{
	int x,y,v;
	bool operator < (const node& a) const {return v<a.v;}
};
int n,m,r; 
priority_queue<node> q;
map<pair<int,int>,bool> vis;
int cul(int x,int y)//求(x,y)的覆盖次数
{
	if(x>(n+1)/2) x=n-x+1;
	if(y>(m+1)/2) y=m-y+1;
	x=min(min(r,n-r+1),x),y=min(min(r,m-r+1),y);
	return x*y;
}
bool ok(int x,int y) {return 1<=x && x<=n && 1<=y && y<=m && !vis[mp(x,y)];}
signed main()
{
	int k,sum=0,cnt=0; 
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&k);
	q.push((node){(n+1)/2,(m+1)/2,cul((n+1)/2,(m+1)/2)}),vis[mp((n+1)/2,(m+1)/2)]=1;
	while(!q.empty())
	{
		cnt++; sum+=q.top().v;
		if(cnt==k) break;
		int x=q.top().x,y=q.top().y; q.pop();
		if(ok(x+1,y)) q.push((node){x+1,y,cul(x+1,y)}),vis[mp(x+1,y)]=1;
		if(ok(x,y+1)) q.push((node){x,y+1,cul(x,y+1)}),vis[mp(x,y+1)]=1;
		if(ok(x-1,y)) q.push((node){x-1,y,cul(x-1,y)}),vis[mp(x-1,y)]=1;
		if(ok(x,y-1)) q.push((node){x,y-1,cul(x,y-1)}),vis[mp(x,y-1)]=1;
	}
	double ans=sum*1.0/((n-r+1)*(m-r+1));
	printf("%0.10f",ans);
	return 0;
}