啊哈 算法
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1 节 最快最简单的排序——桶排序 在我们生活的这个世界中到处都是被排序过的东东。站队的时候会按照身高排序，考试 的名次需要按照分数排序，网上购物的时候会按照价格排序，电子邮箱中的邮件按照时间排 序……总之很多东东都需要排序，可以说排序是无处不在。现在我们举个具体的例子来介绍 一下排序算法。 首先出场的是我们的主人公小哼，上面这个可爱的娃就是啦。期末考试完了老师要将同 学们的分数按照从高到低排序。小哼的班上只有 5 个同学，这 5 个同学分别考了 5 分、3 分、 5 分、2 分和 8 分，哎考得真是惨不忍睹（满分是 10 分）。接下来将分数进行从大到小排序， 排序后是 8 5 5 3 2。你有没有什么好方法编写一段程序，让计算机随机读入 5 个数然后将这 5 个数从大到小输出？请先想一想，至少想 15 分钟再往下看吧(*^__^*) 。 第 1 章 一大波数正在靠近——排序 3 我们这里只需借助一个一维数组就可以解决这个问题。请确定你真的仔细想过再往下 看哦。 首先我们需要申请一个大小为 11 的数组 int a[11]。OK，现在你已经有了 11 个变量，编 号从 a[0]~a[10]。刚开始的时候，我们将 a[0]~a[10]都初始化为 0，表示这些分数还都没有人 得过。例如 a[0]等于 0 就表示目前还没有人得过 0 分，同理 a[1]等于 0 就表示目前还没有人 得过 1 分……a[10]等于 0 就表示目前还没有人得过 10 分。 下面开始处理每一个人的分数，第一个人的分数是 5 分，我们就将相对应的 a[5]的值在 原来的基础增加 1，即将 a[5]的值从 0 改为 1，表示 5 分出现过了一次。 第二个人的分数是 3 分，我们就把相对应的 a[3]的值在原来的基础上增加 1，即将 a[3] 的值从 0 改为 1，表示 3 分出现过了一次。 啊哈！算法 4 注意啦！第三个人的分数也是 5 分，所以 a[5]的值需要在此基础上再增加 1，即将 a[5] 的值从 1 改为 2，表示 5 分出现过了两次。 按照刚才的方法处理第四个和第五个人的分数。最终结果就是下面这个图啦。 你发现没有，a[0]~a[10]中的数值其实就是 0 分到 10 分每个分数出现的次数。接下来， 我们只需要将出现过的分数打印出来就可以了，出现几次就打印几次，具体如下。 a[0]为 0，表示“0”没有出现过，不打印。 a[1]为 0，表示“1”没有出现过，不打印。 a[2]为 1，表示“2”出现过 1 次，打印 2。 a[3]为 1，表示“3”出现过 1 次，打印 3。 a[4]为 0，表示“4”没有出现过，不打印。 a[5]为 2，表示“5”出现过 2 次，打印 5 5。 a[6]为 0，表示“6”没有出现过，不打印。 a[7]为 0，表示“7”没有出现过，不打印。 a[8]为 1，表示“8”出现过 1 次，打印 8。 a[9]为 0，表示“9”没有出现过，不打印。 a[10]为 0，表示“10”没有出现过，不打印。 最终屏幕输出“2 3 5 5 8”，完整的代码如下。 #include int main() { int a[11],i,j,t; for(i=0;i<=10;i++) a[i]=0; //初始化为0 for(i=1;i<=5;i++) //循环读入5个数 { 第 1 章 一大波数正在靠近——排序 5 scanf("%d",&t); //把每一个数读到变量t中 a[t]++; //进行计数 } for(i=0;i<=10;i++) //依次判断a[0]~a[10] for(j=1;j<=a[i];j++) //出现了几次就打印几次 printf("%d ",i); getchar();getchar(); //这里的getchar();用来暂停程序，以便查看程序输出的内容 //也可以用system("pause");等来代替 return 0; } 输入数据为： 5 3 5 2 8 仔细观察的同学会发现，刚才实现的是从小到大排序。但是我们要求是从大到小排序， 这该怎么办呢？还是先自己想一想再往下看哦。 其实很简单。只需要将 for(i=0;i<=10;i++)改为 for(i=10;i>=0;i--)就 OK 啦，快去试一试吧。 这种排序方法我们暂且叫它“桶排序”。因为其实真正的桶排序要比这个复杂一些，以 后再详细讨论，目前此算法已经能够满足我们的需求了。 这个算法就好比有 11 个桶，编号从 0~10。每出现一个数，就在对应编号的桶中放一个 小旗子，最后只要数数每个桶中有几个小旗子就 OK 了。例如 2 号桶中有 1 个小旗子，表示 2 出现了一次；3 号桶中有 1 个小旗子，表示 3 出现了一次；5 号桶中有 2 个小旗子，表示 5 出现了两次；8 号桶中有 1 个小旗子，表示 8 出现了一次。 现在你可以尝试一下输入 n 个 0~1000 之间的整数，将它们从大到小排序。提醒一下， 啊哈！算法 6 如果需要对数据范围在 0~1000 之间的整数进行排序，我们需要 1001 个桶，来表示 0~1000 之间每一个数出现的次数，这一点一定要注意。另外，此处的每一个桶的作用其实就是“标 记”每个数出现的次数，因此我喜欢将之前的数组 a 换个更贴切的名字 book（book 这个单 词有记录、标记的意思），代码实现如下。 #include int main() { int book[1001],i,j,t,n; for(i=0;i<=1000;i++) book[i]=0; scanf("%d",&n);//输入一个数n，表示接下来有n个数 for(i=1;i<=n;i++)//循环读入n个数，并进行桶排序 { scanf("%d",&t); //把每一个数读到变量t中 book[t]++; //进行计数，对编号为t的桶放一个小旗子 } for(i=1000;i>=0;i--) //依次判断编号1000~0的桶 for(j=1;j<=book[i];j++) //出现了几次就将桶的编号打印几次 printf("%d ",i); getchar();getchar(); return 0; } 可以输入以下数据进行验证。 10 8 100 50 22 15 6 1 1000 999 0 运行结果是： 1000 999 100 50 22 15 8 6 1 0 最后来说下时间复杂度的问题。代码中第 6 行的循环一共循环了 m 次（m 为桶的个数）， 第 9 行的代码循环了 n 次（n 为待排序数的个数），第 14 行和第 15 行一共循环了 m+n 次。 所以整个排序算法一共执行了 m+n+m+n 次。我们用大写字母 O 来表示时间复杂度，因此该 第 1 章 一大波数正在靠近——排序 7 算法的时间复杂度是 O(m+n+m+n)即 O(2*(m+n))。我们在说时间复杂度的时候可以忽略较小 的常数，最终桶排序的时间复杂度为 O(m+n)。还有一点，在表示时间复杂度的时候，n 和 m 通常用大写字母即 O(M+N)。 这是一个非常快的排序算法。桶排序从 1956 年就开始被使用，该算法的基本思想是由 E.J.Issac 和 R.C.Singleton 提出来的。之前我说过，其实这并不是真正的桶排序算法，真正的 桶排序算法要比这个更加复杂。但是考虑到此处是算法讲解的第一篇，我想还是越简单易懂 越好，真正的桶排序留在以后再聊吧。需要说明一点的是：我们目前学习的简化版桶排序算 法，其本质上还不能算是一个真正意义上的排序算法。为什么呢？例如遇到下面这个例子就 没辙了。 现在分别有 5 个人的名字和分数：huhu 5 分、haha 3 分、xixi 5 分、hengheng 2 分和 gaoshou 8 分。请按照分数从高到低，输出他们的名字。即应该输出 gaoshou、huhu、xixi、haha、hengheng。 发现问题了没有？如果使用我们刚才简化版的桶排序算法仅仅是把分数进行了排序。最终输 出的也仅仅是分数，但没有对人本身进行排序。也就是说，我们现在并不知道排序后的分数 原本对应着哪一个人！这该怎么办呢？不要着急，请看下节——冒泡排序。