乘法逆元的应用

这个博客讲的很好，直接拉过来了。http://blog.sina.com.cn/s/blog_7c4c33190100s48a.html 网络上讲的也很少，这个算是最清楚的了。

定义：

满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

 

为什么要有乘法逆元呢？

当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

 

 

证：

根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。

k=(p*x+1)/b。

把k代入(a*k) mod p，得：

 (a*(p*x+1)/b) mod p

=((a*p*x)/b+a/b) mod p

=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p

=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p

//p*[(a*x)/b] mod p=0

所以原式等于：(a/b) mod p

更简单的证明：

a/b mod p =  a* （b*b^(-1) ) /b =a*b^(-1);

 

至于怎么求解二元不定方程，参见扩展欧几里得算法。（extended-gcd）

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7c4c33190100s4a8.html

 

http://wenku.baidu.com/link?url=u2bKSFtzyQ8KT1lhlAUvQ1mYGHSU9iOkUpVSiJe7b_kYGAdHZUwdB3ipbf0DVZvqO_1mgyw0SrpJ7Zj7g3E5M2r0t9bCAVQ7U1QF_2fYNnu 贾志鹏线性筛；介绍了O（n）算法求出多个数的逆元。

 

快速求出1—n的逆元（mod p）

以下所有数都mod p

首先要求出 1！ 2！。。。n！ 的值， 先求出 n！的逆元。

逆元是积性函数， 可以根据n！的逆元 求出 1！ 2！。。。（n-1）！的逆元。

(n!)^(-1)= (n-1)!^(-1)  *  n^(-1)

 移项得

( (n!)^(-1) )/( n^(-1) ) = (n-1)! ^ (-1)  

根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元

(n!)^(-1) * n = (n-1) ^ (-1)

 

这样就求出了 1！,  2！。。。（n-1）！, n!的逆元。

接下来 就是 如何 利用 阶乘的逆 求出 每个数的逆；

( (n-1)! ^ (-1) ) * n ^ (-1) = (n!) ^ (-1);

移项得

n ^ (-1) = (  (n!) ^ (-1) )  / ( (n-1)! ^ (-1) ) ;

根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元

n ^ (-1) =  (n!) ^ (-1)  *   (n-1)! ;

定义：

若 a*k≡1 (mod p), a 与 p 互质，就说 k 是 a 模 p 的乘法逆元。记为 k = a^-1.

我个人习惯用 ie(a) 表示 a 模某数的逆元。（inverse element）

补充性质：

1. a/b≡a*b^-1 (mod p)，b | a.

   证明：a/b mod p = a/b*b* b^-1 mod p，化简得 a/b mod p = a*b^-1 mod p.

2. ie(x) 是积性函数

   证明：设 x 是 a 关于 p 的逆元，y 是 b 关于 p 的逆元，即 xa mod p = yb mod p = 1，则

   xayb mod p = 1

   (ab)*(xy) mod p = 1

   即 xy 是 ab 关于模 p 的逆元，即 ie(ab) = xy = ie(a)*ie(b)。

3. a^-1 = a^p-2

   证明：先证明 a^p-1 mod p = 1.

   首先，a, 2a, 3a, ..., (p-1)a，这些数 mod p 的值互不相同。

   用反证法可以证明：假设 i*a≡j*a(mod p) (1 <= i, j < p)，设 i > j，则 (i-j)*a mod p = 0，由于 a 与 p 互质，可以得到 (i-j)又 i-j 是 p 的倍数，又 i-j < p，矛盾，所以假设不成立。

   由上述结论可知，a, 2a, 3a, ..., (p-1)a mod p 的值与 0, 1, 2, ..., p-1 一一对应（不一定按顺序对应），将这些数相乘可以得到 (p-1)!*a^p-1≡(p-1)! (mod p)，两边消去 (p-1)!，得到 a^p-1 mod p = 1.

   又 a^p-1 = a*a^p-2，所以 a*a^p-2≡a*a^-1 (mod p)，即 a^-1=a^p-2.