Riemann函数:当x为无理数时,R(x)=0。当x=p/q,p∈Z,q∈N*,(p,q)=1,R(x)=1/q。
任意(x_0∈(0,1),lim_{x→x_0}R(x)=0)
证明:反证。若存在(x_0∈(0,1),lim_{x→x_0}R(x)≠0)
则对于任意的ε>0,当R(x)≥0时,显然x为有理数,设x=p/q,则q≤[1/ε]
在(0,1)上,这样的x有有限多个,不妨记为(x_1,x_2,.....x_N)
令δ=min{(|x_1-x_0|,|x_2-x_0|,.....,|x_N-x_0|)}
当(0<|x-x_0|<δ)时,有R(x)<ε,由函数极限的定义,lim_{x→x_0}R(x)=0,矛盾。
则任意(x_0∈(0,1),lim_{x→x_0}R(x)=0)