笔算开方法

笔算开方

笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根。

（并非是近似值，而是精确值）

原理：

方法可简记为——二十倍初商加试商

预备：

下面具体来讲一下计算步骤：

1. 以小数点为起点，将被开方数的整数部分和小数部分分别以2位为一组分隔（整数从右往左分，小数从左往右分，不足则用0补齐），分成n段，则表明所求平方根是n位数
2. 确定平方根的第一位：最大平方数。在不超过第一组数中取最大数x(1..9)，将x作为除数和第一组的商，求出开方余项（第一组余数+第二组）
3. 再求平方根第二位：假设第二位为a，取算式估计出a的最大值（此为试商），使得结果不大于开方余项。新的除数与新商得出乘积，算出新的余数
4. 把下一组数补齐到新余数后，重复步骤3
5. 小数点对齐，运算至所需精度

这样讲述显得苍白无力（有一个大概印象即可），我们直接看例子：

例如对105625进行开方：

首先对105625进行分段，从右往左每两位数字分为1段，也就是10，56，25三段数字。先算出平方根的第一位数字，在平方不超过10的数字里取最大的，比如1的平方为1，2的平方为4，3的平方为9，4的平方为16，16已经超过10了，1，2，3的平方都比10小，那平方根首位数字取3，因为 1，2，3当中3最大
10-3的平方=1，将被开方数第二段数字补上去，得到156。现在算平方根第二位数字。假设这第二位数字为a，取算式a*(20*3+a)，式子中20是一个固定不变的数（不论被开方数是多少）3就是刚刚计算出的平方根的首位数字。对a的值进行估计，使得 a*(20*3+a)不超过156。取a=1，a(20*3+a)=61,a=2时a(20*3+a)=124，a=3时 a*(20*3+a)=189，189已经超过156，所以a在1，2之间取值取最大的一个数，也就是2，平方根的第二位数字就是2了
a(20*3+a)=124，62 乘以平方根第二位数字，也就是62*2=124，156-124=32，将被开方数第三段数字补上去，得到3225，与前面类似，取算式 b(20*32+b)，式子中20还是固定不变的数字，32是刚刚算出的平方根的前两位数字，对b取值，使得b(20*32+b)不超过3225，由计算 可知b=5，平方根第三位数字即为5
如果平方根还有第四位数字，或者更多，假设325后面还有第四位数字，算第四位数字时取算式 a(20*325+a)，式子中的325即是已经算出的平方根的几位数字，后面算法都跟前面类似。对于被开方数是小数，分段时要注意，比如计算1.323 的平方根，它的小数位有3位，位数是奇数个，要补一个0上去，即1.3230，然后从左往右每两位数字分为一段。比如开方数是3.7478，小数位有4位数字，是偶数个位数，不用补0，可以直接分段，小数和整数的开方计算方法是一样的。

练习：

 

上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法，实际计算中不怕某一步算错！！！而上面方法就不行。  

比如136161这个数字，首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。  我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5  

然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差无几，并且，369^2末尾数字为1。我们有理由断定369^2=136161  一般来说能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算469225的平方根。首先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算  

0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾数字是5，因此685^2=469225  

对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。  

实际中这种算法也是计算机用于开方的算法