FOC 算法基础之欧拉公式

文章目录

• 欧拉公式
• 几何意义
• 复数平面
• 动态过程
• 加法
• FOC电压矢量的推导
• 总结
• 参考

FOC中电压矢量合成的推导，对于欧拉公式的几何意义做了一个全面的回顾。

欧拉公式

欧拉是一个天才，欧拉公式甚至被誉为上帝创造的公式，然后在FOC算法中也可以看到欧拉公式的影子，不过因为是最基础的知识，所以基本上的换算都是一笔带过，但是如果这里没有掌握就很难搞清楚实数平面如何换算到复数平面，以至于在SVPWM的求解中存在的都是向量运算，所以这里有必要理解欧拉公式的物理意义，这样可以加深FOC算法的理解。
欧拉公式如下所示；
$egin{cases} e^{ix} = cosx + isinx cdots ①\ e^{pi i} + 1 = 0 cdots ② end{cases}$
这两个公式都被称之为欧拉公式；

$e$ 是自然对数的底，$i$ 是虚数（$i=sqrt{-1}$）。

根据式 ① 可以推导出以下另外两个变式；
推导过程如下；
令$x = -x$，可以得到④式，如下；
$egin{cases} e^{ix} = cosx + isinx cdots ③\ e^{-ix} = cosx - isinx cdots ④\ end{cases}$
所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相加得到；
$cosx = cfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}cdots ⑤$
所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相减得到；
$sinx = cfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}cdots ⑥$

几何意义

$re^{i heta}$则表示模长为$r$的向量旋转了角度$heta$，下面会进一步介绍。

复数平面

复数平面坐标$x$轴作为实数轴，$y$轴作为虚数轴。这里可以通过欧拉公式，将实数平面换到复数平面，如下图所示；

已知这是一个半径为$r$，圆心为$O$的圆，则存在；
$re^{i heta} = r(cos heta + isin heta)$
上式表示向量 $overrightarrow{OP}$ 逆时针旋转了角度 $heta$ , $| overrightarrow{OP}| = r$；

动态过程

假设向量$overrightarrow{OC}$逆时针旋转，与$x$轴夹角为$heta$，半径$r = 10$，即 $| overrightarrow{OC}| = r =10$，具体如下图所示；

这里分析一下图中的几个关键点；

• 红色点的坐标为：$( heta, 10sin heta)$，红色的正弦曲线为红色点的运动轨迹；
• 绿色点的坐标为；$(10cos heta, heta)$，绿色的正弦曲线为绿色点的运动轨迹；
• $CG$为向量$overrightarrow{OC}$在$x$轴上的投影，$|CG| = 10cos heta$；
• $CH$为向量$overrightarrow{OC}$在$y$轴上的投影，$|CH| = 10sin heta$；

可以发现，向量在复平面做圆周运动，其实数域相当于是在做正弦运动。后面再FOC中的三相正弦波形的合成可以做一下分析。

加法

欧拉公式里的相加则比较简单，相当于两个向量的相加；
$overrightarrow{AE} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD}$
如下图所示；

所以存在特殊情况当 $heta = 0$时则有；
$overrightarrow{AE} = |overrightarrow{AE}|(e^{j( heta+cfrac{2pi}{3})} + e^{j( heta-cfrac{2pi}{3})} )$
直接进行符合向量相加；
$overrightarrow{AE} = |overrightarrow{AE}|e^{j( heta+pi)}$
具体如下所示；

FOC电压矢量的推导

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；

详细的坐标变换可以参考《FOC中的Clarke变换和Park变换详解》，根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为$U_{A}$，$U_{B}$，$U_{C}$将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

$egin{cases} U_{A} = U_{m}cos heta_{e} \ U_{B} = U_{m}cos( heta_{e} - cfrac{2pi}{3}) \ U_{C} = U_{m}cos( heta_{e} + cfrac{2pi}{3}) end{cases}$

$U_m$为相电压基波峰值；

因此根据前面式⑤$cosx = cfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}cdots ⑤$
可以将该方程组转换到复平面可以得到，下式统一使用$heta$ 表示$heta_{e}$；
$egin{cases} U_{A}= U_{m}cos heta_{e} = cfrac{ U_{m}}{2}(e^{i heta} + e^{-i heta})\ U_{B}= U_{m}cos( heta_{e} + cfrac{2pi}{3}) = cfrac{ U_{m}}{2}(e^{(i heta-cfrac{2pi}{3})} + e^{-(i heta-cfrac{2pi}{3})})\ U_{C} = U_{m}cos( heta_{e} - cfrac{2pi}{3}) = cfrac{ U_{m}}{2}(e^{(i heta+cfrac{2pi}{3})} + e^{-(i heta+cfrac{2pi}{3})}) end{cases}$
因为需要将三相电压合成矢量 $overrightarrow{U} = overrightarrow{U_A} + overrightarrow{U_B} + overrightarrow{U_C}$；下面增加向量的相位差；
$egin{cases} overrightarrow{U_A} = U_A *e^{j0}\ overrightarrow{U_B} = U_B *e^{-(jcfrac{2pi}{3})} \ overrightarrow{U_C} = U_C *e^{(jcfrac{2pi}{3})}\ end{cases}$

中间推导过程暂略，最终推导得到；
$overrightarrow{U} = cfrac{3}{2}U_me^{j heta} = cfrac{3}{2}U_me^{jomega t}$

总结

磕磕绊绊写了最后，基础学科的掌握还不够，很多知识回过头来看，总会有新的收获，但是由于笔者能力有限，文中难免出行错误和纰漏，望您能不吝赐教。

参考

https://www.matongxue.com/madocs/8.html