王道数据结构复习（一）

  本次数据结构复习重点复习了第一章绪论中关于时间复杂度的计算。一下简要介绍一下复习结果：

  　　一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和记为T(n)，它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。算法中的基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，因此通常采用算法中基本运算的频度ƒ(n)来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度记为：

　　　　　　　　　　　　　　　　T(n)=Ο(ƒ(n))

　　式中，Ο的含义时T(n)的数量级，其严格的数学定义是：若T(n)和ƒ(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则存在正常数C和n₀ 使得当n≥n₀时，都满足0≤T(n)≤Cƒ(n)。

　　在分析一个程序的时间复杂性时，有一下两条规则：

　　a)加法规则： T(n)=T₁(n)+T₂(n)=Ο(ƒ(n))+O(g(n)) = O(max(ƒ(n),g(n))

　　b)乘法规则：T(n)=T₁(n)*T₂(n)=O(ƒ(n))+O(g(n))=O(ƒ(n)*g(n))

　　常见的渐进时间复杂度为：

　　O(1)<O(log₂n)<O(n)<O(nlog₂n)<P(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

　　以下是一些题目回顾：

　　1.求下述代码的时间复杂度

void fun (int n) {
    int i = 1;
    while (i <= n)
        i = i * 2;
}

　　基本运算是

i = i * 2

　　设其执行次数为t，则2^t≤n，即t≤log₂n,因此复杂度T(n)=O(log₂n)。

　　2.下列函数的时间复杂度为：

int func (int n) {
    int i = 0, sum = 0;
    while (sum < n) sum += ++i;
    return i;
}

　　

sum += ++i;

　　相当于

++i;
sum = sum + i;

　　进行到k次循环时，sum = (1+k)*k/2。需要O(n^1/2)复杂度。

　　3.一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法时间复杂度级别：

　　T(n)=1 当n=1;

　　T(n)=2T(n/2)+n 当n>1;

　　式中，n是问题规模，为简单起见，设n是2的整数次幂。

　　此题目可以使用主定理解决。当T(n)=aT(n/b)+ƒ(n)时：1）ƒ(n)=O(n^log_ab-ε)  ε>0  T(n)=θ(n^log_ba)    2) ƒ(n)=θ(n^log_ba) 那么 T(n)=θ(n^log_balog₂n)     3)ƒ(n)=Ω(n^log_ba+ε)且对C≤1有充分大的n有aƒ(n/b)≤Cƒ(n)  T(n)=θ(ƒ(n))。

　　满足主定理2)，因此复杂度O(nlog₂n).