最小生成树模板

最小生成树

Prim

本质是维护一个集合，选择一个点作为初始点A先加入集合，遍历未加入集合的点，将它们到A的距离设为到集合的最短距离，选则其中的最小值，将该点再加入集合。每次有新的点加入集合后，都用该点更新其余未加入集合的点到集合的距离。(与dijkstra不同的是，prim每次选择到集合最近的点，而dijkstra选择到源点最近的点)。

复杂度\(O(n^2)\)，适用于稠密图

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int maxn=2e3+5;
int cost[maxn][maxn];
int lowcost[maxn],vis[maxn];
int prim(int n){
    int ans=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) lowcost[i]=cost[1][i];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int minn=INF,p=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&lowcost[j]<minn){
                minn=lowcost[j];
                p=j;
            }
        }
        if(minn==INF)return -1;
        ans+=minn;//总和(也可以改为树上最大边)
        vis[p]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&lowcost[j]>cost[p][j])
                lowcost[j]=cost[p][j];
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&cost[i][j]);
        }
    }
    int ans=prim(n);
    printf("%d\n",ans);
}

kruskal

建立边结构体，将边按照权值排序，从小到大加入树中，若一条边的两个点已经在同一棵树中(用并查集维护)，则跳过这条边。

复杂度\(O(E*logE)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
const int maxm=2e5+5;
struct edge{
	int u,v,w;
}E[maxm];
int tot=0;
void addedge(int u,int v,int w){
    E[++tot].u=u;
    E[tot].v=v;
    E[tot].w=w;
}
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.w<b.w;
}
int fa[maxn];
int find(int x){
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int kruskal(int n){
	int ans=0;
	sort(E+1,E+1+tot,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int u=E[i].u;
		int v=E[i].v;
		u=find(u);v=find(v);//跳到祖先节点
		if(u!=v){
			ans=max(ans,E[i].w);//求树上最大边(也可以改为求和)
			fa[u]=v;
			cnt++;
		}
		if(cnt==n-1)return ans;
	}
	if(cnt==n-1)return ans;
	else return -1;
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    int ans=kruskal(n);
    printf("%d %d\n",n-1,ans);//边数，树上最大边
}