图论引导笔记 第九章 可平面性

9.1平面图

定义：

平面图（planar graph）：图G可以画在平面上使得任意两条边都不会交叉。当然此时可以是交叉的。

非平面图：不是平面的图称为非平面图。（好像是废话）

平图（plane graph）：一个平面图G此时成功画在平面上使得任意两条边都不交叉。

区域：一个平图将当前平面分割成的一些"连通片"（我更倾向于称为"部分"，指二维面）。

外区域：一个平图的区域中总有一个是无界的那个区域。

边界：某个区域R的关联子图

 

极大平面图：G是平面的且给G任意两个不相邻的顶点增加一条边即可产生一个非平面图，称这个图是极大平面的。

细分：将一个或者多个度为2的点插入到G的一条或多条边上得到的图G'称为是G的一个细分。

 

性质：

1. 一个割边总是恰好在一个区域的边界上（未必是外区域）。即：去掉割边不影响区域的个数。
2. 一个非割边的边一定位于两个边界的边界上。
3. 至少含有三条边的连通平图G，每个区域的边界至少含有3条边
4. 平面图的不同画法得到的平图具有相同的区域数
5. 一个平面图的每一个细分都是平面的，一个非平面图的细分都是非平面的。

 

定理：

9.1 （Euler恒等式）连通平图G：阶为n，边为m，区域数为r。则n-m+r=2

    证明：如果G是一株数，显然m=n-1，r=1，n-m-r=n-(n-1)+1=2，符合欧拉恒等式。如果G不是一株树，反证，假设定理不成立，则存在一个含有最少边数的连通平图G不满足欧拉公式，此时对于任意的相同阶数的G'（|G'.E|=|G.E|-1），都满足欧拉公式。此时由于G不是数，故一定存在不是割边的边e，对于图G-e，欧拉公式成立(n-(m-1)+(r-1)=2)，则对于图G欧拉公式(n-m+1)也成立。

9.2 如果G是一个平面图，阶数n≥3，边数为m。则有m≤3n-6（不是充要条件，即一个图如果m≤3n-6，也有可能是非平面的）

    证明：当G是连通的，如果G是一条路径P₃则显然不等式成立。因此假设G至少有三条边，将G画成r个区域的平图。用m_i表示区域R_i边界上的边数，且至少为3。则M=Σm_i≥3r①。在M中如果某条边是割边则只计算一次，非割边计算两次，所以m≤M≤2m②，由①②得，3r≤2m，由欧拉定理得6=3n-3m+3r≤3n-6，原命题成立。当G是非连通的，显然给G增加一些边能使得G变成连通的，此时m<3n-6。

    逆否命题：G是n≥3且边数为m的图，m>3n-6。则G是非平面的。

推论9.3 每一个平面图含有一个度数不大于5的顶点

    证明：反证：若所点的度数都大于6,则2m=Σdeg v≥6n,即m≥3n>3n-6此时G是平面的,矛盾.

9.4 完全图K₅是非平面的。证明：显然n=5,m=4*5/2=10。实际上只有1,2,3,4的完全图是平面图

9.5 图K_3,3是非平面的。证明：套公式

9.6存在图G，阶数为n≥3,边数为m>3n-6，但是即不以K₅或K_3,3为子图。证明：图F ≌ G×K₃,其中G为阶为5边为9的极大平面图

9.7(Kuratowski定理)一个图是平面的。当且仅当G不含K₅、K_3,3或者K_5，K_3,3的一个细分为子图。