7.1 强有向图
定义：
1、弧/有向边：有向图的集合E中的元素，E中元素为不同顶点的有序对。
2、定向图：(u,v)与(v,u)至多有一个是有向图D的弧的有向图。定向图可以是给无向图G的每一条边定下一个方向，故可以称是图G的一个定向。
3、子有向图：如果V(H)V(D), E(H)E(D)，则有向图H是有向图D的一个子有向图。
4、对称的(有向图)：当(u,v)是有向图的一条弧度，则(v,u)也是有向图的一条弧。
5、出/入度：顶点v所邻接/邻接自的顶点个数，记id/od v。
6、链：有向图的一条路径，链上弧出现的次数为链的长度。记作
7、(有向)迹：一条没有重复弧的链。可以记作u-v
8、(有向)路：一条没有重复顶点的链。
9、(链的)开/闭：若则为闭的，若则为闭的。
10、回路：长度至少为2的闭迹。（没有重复弧）
11、圈：除了起始点外没有重复出现的顶点称为闭链。（没有重复点）
12、基础图：由图D通过除去D中弧的方向且用单边代替每对平行边所获得的图。与定向是相反的概念
13、(有向图)连通/弱连通：有向图D的基础图是连通的。
14、强的/强连通图：对于任意顶点对，均有一条u-v 与v-u 路.
15、有向距离：图D中最短的一条u-v路的长度。记作d(u,v)
16、测地线：长度为d(u,v)的u-v路。
17、(强连通)有向图的Euler 回路：包含图D每一条弧的回路。
18、Euler有向图：含有Euler回路的有向图。
定理：
7.1 (有向图理论第一定理) 所有顶点的入度的总和等于出度的总和等于|G.E|。证明：显然
7.2 u-v链长≥某条u-v路长。证明：显然
7.3 有向图是强连通的当且仅当D含有一条闭生成链。证明："生成"表示保留所有原来顶点，其余直接证明
7.4 非平凡图是Euler的，当且仅当对于图D的每个顶点v，均有od v=id v。证明：顶点的每一次出现对出入度均贡献了1
7.5 非平凡连通图G有一个强连通定向当且仅当G不含有割边（2边连通）。证明：充分性显然，必要性先给图中的圈定向
7.2竞赛图
定义：
1、竞赛图：完全图的一个定向。我们用入度代表输的比赛场数，出度代表赢的比赛畅数，(u,v)表示u击败v。当竞赛图是可迁的时候队伍之间才会明显的排序
2、(有向图的)同构：,记作
3、(竞赛图的)可迁：若(u,v)和(v,w)是一条弧则(u,w)也是T的一条弧
4、(有向图)的Hamilton路：包含了D中所有顶点的路P。记作P
5、(有向图)的Hamilton 圈：包含了D中所有顶点的圈C。记作C
6、Hamilton有向图：含有Hamilton圈的有向图D
定理:
7.6竞赛图是可迁的当且仅当T不含有环。证明：反证法
7.7若u是竞赛图T中具有最大出度的顶点，则对于T的任一顶点v，d(u,v)≤2。证明：区分讨论u的邻接点与邻接与的点，对于后者寻找矛盾。
7.8 每一个竞赛图都含有一条Hamilton路。证明：假设一条最大路径，然后反证
7.9 非平凡强连通竞赛图的每个顶点都属于一个三角形。证明：考虑任意一点v邻接的顶点集合U和邻接自的顶点集合W，必定有弧(u,w)，否则不是强连通。u,v,w形成三角形
7.10竞赛图是Hamilton的当且仅当T是强连通的。证明：充分性显然；必要性：考虑非平凡强连通竞赛图，他的最长圈。如果没有经过所有点，依旧按集合划分找矛盾。
7.11阶数大于4的强连通竞赛图T，必定含有一点，使得T-v仍然是强连通竞赛图。
证明：n=4时，成立
n≥5时候，反证法。假设存在阶数为n≥5的强连通竞赛图，使得对于每一个顶点，都有T-v不是强连通的。找最大的非Hamilton圈，分集合讨论
有一些数学符号博客里显示不出来，以后有时间重写 J