题目
1.设 (m) 为大于 (1) 的正整数,且 (m|(m-1)!+1). 证明: (m) 是一个素数.
2.设 (p) 为正整数,且 (2^p-1) 是素数. 证明: (p) 为素数.
题解
分析
1.我们可以采用反证法，这类题可以先尝试反证法进行分析。
2.观察发现，(2^n-1) 诸如此类的式子可以尝试进行因式分解来反证其为素数。
过程
1.设 (m) 是一个合数，则 (p|m) ，且 (2 le p < m)，
所以 (p|(m-1)!)，
因为 (m|(m-1)! + 1)，
所以 (p|(m - 1)! + 1)，
这使得 (p | 1)，矛盾
故 (m) 是一个素数。
2.若 (p) 为合数，设 (p = qr,2 le q le r)，则
(2^p - 1 = (2^q)^r - 1 = (2^q-1)((2^q)^{r-1}+(2^q)^{r-2}+…+1))，
这导致 (2^q - 1|2^p - 1)，与 (2^p-1) 是素数矛盾.故 (p) 为素数.
小结
反证法需要与题设矛盾。
错误及不规范的地方望大家指出。