快速傅里叶变换（FFT）

其实很早就想学习一下 FFT 了，不过比赛的时候和 FFT 有关的题目我都交给了队友，所以也没什么动力学- -今天看到 Gilbert Strang 的线性代数书中竟然也介绍了 FFT，就顺便学习了一下。

FFT 解决的问题

我们知道，一个 $n-1$ 次多项式可以这样表示：$$sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k$$ 这种表示方法称为多项式的“系数表示法”。容易看出，只要确定了 $a_0,a_1,dots,a_{n-1}$ 的值，就能唯一确定一个 $n-1$ 次多项式。

事实上，一个 $n-1$ 次多项式还可以用“点值表示法”进行表示。我们把多项式看成函数 $f(x)$，只要给出 $n$ 个点 $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),dots,(x_n,f(x_n))$，且这 $n$ 个点的 x 值互不相同，我们也能唯一确定一个 $n-1$ 次多项式。确定这个多项式的过程称为“插值”。

为什么 $n$ 个点可以唯一确定多项式呢？我们可以把给出的 $n$ 个点看作一个方程组，用矩阵表示为 $$egin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & dots & x_1^n \ 1 & x_2 & x_2^2 & dots & x_2^n \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & dots & x_n^nend{bmatrix} egin{bmatrix}a_0 \ a_1 \ vdots \ a_{n-1}end{bmatrix} = egin{bmatrix}f(x_1) \ f(x_2) \ vdots \ f(x_n)end{bmatrix}$$ 简记为 $Xa = f$，根据线性代数的知识我们知道，矩阵 $X$ 是范德蒙矩阵，其行列式为 $$prod_{i e j}(x_i-x_j)$$ 显然，只要 x 的值各不相等，该矩阵的行列式就不为 0，说明该矩阵可逆，则我们能唯一确定多项式的系数向量为 $a = X^{-1}f$。

我们需要解决的问题是：给出一个多项式的系数表示或点值表示，如何用一种表示方法推出另一种表示方法。

如果我们使用朴素的方法，在给出系数表示时，我们随便取 $n$ 个不同的 x 值，分别计算出多项式的取值来获得点值表示，显然复杂度为 $O(n^2)$；在给出点值表示时，我们使用拉格朗日插值法获得系数表示，复杂度也为 $O(n^2)$。有没有更快的解决方法呢？

FFT 就能够更快地帮我们在多项式的系数表示和点值表示之间进行转换，它的复杂度是 $O(n ext{log}n)$。接下来我们就来推导并介绍 FFT 是如何加快这个过程的。

单位根

为了推导 FFT，我们首先介绍单位根。

我们称 $x^n=1$ 的所有复数解为单位根，这 $n$ 个单位根是 $e^{2pi i / n} = (e^{2pi / n})^i = w_n^iquad i in {0,1,dots,n-1}$

来验证一下，根据欧拉公式 $e^{ heta i} = ext{cos} heta + ext{sin} heta$，我们有 $$(e^{2pi i/n})^n = e^{2pi i} = ext{cos}2pi + ext{sin}2 pi = 1$$

根据代数基本定理，这个方程有且只有 $n$ 个复数解，这些解就是全部的单位根了。

单位根有一个很奇妙的性质：所有单位根之和为 0。证明如下：$$(1 + w_n + w_n^2 + dots + w_n^{n-1})(w_n-1) = w_n^n-1 = 1-1 = 0$$ 显然我们有 $$1 + w_n + w_n^2 + dots + w_n^{n-1} = 0$$ 或 $$w_n = 1$$ 只有在 $n = 1$ 时，才有 $w_n = 1$。所以，对于 $n e 1$，单位根之和为 0。

单位根还有另一个（比较容易观察到的）性质：$w_n^2 = e^{4pi i / n} = e^{2pi i / (n/2)} = w_{n/2}$，这个性质是 FFT 的核心。

傅里叶矩阵

定义 $n$ 阶傅里叶矩阵如下 $$F_n = egin{bmatrix}1 & 1 & 1 & dots & 1 \ 1 & w_n^{1 imes 1} & w_n^{1 imes 2} & dots & w_n^{1 imes (n-1)}\ 1 & w_n^{2 imes 1} & w_n^{2 imes 2} & dots & w_n^{2 imes (n-1)}\ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots\ 1 & w_n^{(n-1) imes 1} & w_n^{(n-1) imes 2} & dots & w_n^{(n-1) imes (n-1)}end{bmatrix}$$ 这个矩阵也有一个非常好的性质：它的逆矩阵非常容易运算：$$F_n^{-1} = frac{1}{n}egin{bmatrix}1 & 1 & 1 & dots & 1 \ 1 & w_n^{-1 imes 1} & w_n^{-1 imes 2} & dots & w_n^{-1 imes (n-1)}\ 1 & w_n^{-2 imes 1} & w_n^{-2 imes 2} & dots & w_n^{-2 imes (n-1)}\ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots\ 1 & w_n^{-(n-1) imes 1} & w_n^{-(n-1) imes 2} & dots & w_n^{-(n-1) imes (n-1)}end{bmatrix}$$ 我们来验证一下：

$F_n$ 的第 $a$ 行与 $F_n^{-1}$ 的第 $b$ 列的点积为 $$frac{1}{n}sum_{k=0}^{n-1}w_n^{a imes k}w_n^{-k imes b} = frac{1}{n}sum_{k=0}^{n-1}w_n^{k(a-b)}$$ 若 $a = b$，显然点积为 1；若 $a e b$，我们记 $W = w_n^{a-b}$类似于上一节的推导，我们有 $$frac{1}{n}(W-1)sum_{k=0}^{n-1}W^k = W^n-1 = e^{2pi(a-b)}-1 = 0$$ 而由 $a e b$ 我们有 $W e 1$，则点积为 0。

快速离散傅里叶变换

给出一个 $n$ 维向量 $c$，如果我们用朴素的方法计算 $y = F_nc$，需要进行一个复杂度为 $O(n^2)$ 的乘法。而 FFT 可以让这个过程加快至 $O(n ext{log}n)$。

不失一般性地，我们假设 $n = 2^l$（如果 $n$ 不是 2 的幂，我们可以通过补 0 把多项式的系数个数补充到 2 的幂）。FFT 的过程如下。

设 $c = egin{bmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & dots & c_{n-1} end{bmatrix}^T$，我们构造两个 $frac{n}{2}$ 维的向量 $c' = egin{bmatrix} c_0 & c_2 & c_4 & dots & c_{n-2} end{bmatrix}^T$ 与 $c'' = egin{bmatrix} c_1 & c_3 & c_5 & dots & c_{n-1} end{bmatrix}^T$。这样，我们就能分别计算出 $y' = F_{n/2}c'$ 与 $y'' = F_{n/2}c''$。假设我们能通过某种方式，从 $y'$ 与 $y''$ 中获得 $y$，我们就发现了一个递归的过程。这样，我们就能一步一步把问题分解成最小规模的 $y = F_1c = c$，再通过“某种方式”一层一层合并出原来的解。

这个“某种过程”的式子如下（设 $y_j$ 表示向量 $y$ 的第 $j$ 项元素）：$$y_j = y_j' + w_n^jy_j'' quad j = 0dots n-1$$ $$y_{j+n/2} = y_j' - w_n^jy_j'' quad j = 0dots n-1$$ 显然，这个合并过程的复杂度是线性的，所以总的复杂度为 $O(n ext{log}n)$。

接下来我们证明这个“递归式”。首先是第一个式子：$$y_j = sum_{k=0}^{n-1}w_n^{jk}c_k = sum_{k=0}^{n/2-1}w_n^{j imes 2k}c_{2k} + sum_{k=0}^{n/2-1}w_n^{j imes (2k+1)}c_{2k+1}$$ $$=sum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k' + w_n^jsum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k'' = y_j' + w_n^jy_j''$$ 接下来证明第二个式子： $$y_{j+n/2} = sum_{k=0}^{n-1}w_n^{(j+n/2)k}c_k = sum_{k=0}^{n/2-1}w_n^{(j+n/2) imes 2k}c_{2k} + sum_{k=0}^{n/2-1}w_n^{(j+n/2) imes(2k+1)}c_{2k+1}$$ $$=w_n^{nk}sum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k' + w_n^{nk}w_n^{n/2}w_n^jsum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k''$$ 注意到 $w_n^{nk} = 1$，$w_n^{n/2} = e^{pi i} = -1$，我们有 $$y_{j+n/2}=sum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k' - w_n^jsum_{k=0}^{n/2-1}w_{n/2}^{jk}c_k'' = y_j'-w_n^jy_j''$$ 这样我们就能在 $O(n ext{log}n)$ 的时间内，利用这种递归的方式快速计算出 $y=F_nc$ 的值。

多项式表示方法之间的转换

对比一下 FFT 的矩阵表达式 $F_nc=y$ 与多项式插值的矩阵表达式 $Xa = f$，如果我们令 $X = F_n$，$a = c$，$f = y$，就建立起了两者之间的关系。FFT 实际上是通过选择单位根作为插值时的 x 值，再使用快速离散傅里叶变换，就能快速算出 x 值为 $n$ 个单位根时，多项式的 $n$ 个取值，以此将系数表示转化为了点值表示。

而要将点值表示转化回系数表示也非常简单，只要求 $c = F_n^{-1}y$ 即可完成，$F_n^{-1}$ 的形式已经在之前的小节中给出，与 $F_n$ 非常相似，求解方法也与 $F_n$ 相同，这里不再赘述。

FFT 求多项式乘法

如果我们有两个多项式 $A = displaystyle sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k$ 与 $B = displaystyle sum_{k=0}^{m-1}b_kx^k$，我们如何快速求出两者的乘积多项式 $C = displaystyle sum_{k=0}^{n+m-2}c_kx^k$（其中 $c_k = displaystyle sum_{t=0}^k a_tb_{k-t}$）呢？

我们先通过两个 FFT（$y=F_nc$）将多项式 $A$ 与 $B$ 由系数表示转化为点值表示 $(x_k,A(x_k))$ 与 $(x_k, B(x_k))$。由于 $C = AB$，显然 $C$ 的点值表示为 $(x_k,A(x_k)B(x_k))$，那么我们可以用 $O(n)$ 的时间通过 $A$ 与 $B$ 的点值表示获得 $C$ 的点值表示。再通过一个 FFT（$c=F_n^{-1}y$）将 $C$ 的点值表示变回系数表示即可。

不难注意到 $c_k$ 的值是由卷积运算得来的，所以 FFT 也可以用于加快卷积运算。

最后附上 FFT 的一个非递归实现（模板题：LOJ108）

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXP 262144
#define PI 3.1415926535897
using namespace std;

int n,m;
complex<double> A[300010],B[300010],C[300010];

void change(complex<double> *a,int len)
{
    int i,j,k;
    for(i=1,j=len>>1;i<len;i++)
    {
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        for(k=len>>1;j&k;k>>=1) j &= ~k;
        j |= k;
    }
}

void fft(complex<double> *a,int len,bool inv)
{
    int i,j,k,lim;
    complex<double> w,t,u,v;
    change(a,len);
    
    for(i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        w = complex<double>(cos(2*PI/i),sin(2*PI/i*(inv?-1:1)));
        for(j=0;j<len;j+=i)
        {
            t = 1; lim = j + (i>>1);
            for(k=j;k<lim;k++)
            {
                u = a[k]; v = t * a[k+(i>>1)];
                a[k] = u + v; a[k+(i>>1)] = u - v;
                t *= w;
            }
        }
    }
    
    if(inv) for(i=0;i<len;i++) a[i] /= len;
}

int main()
{
    int i,x;
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&x), A[i] = x;
    for(i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&x), B[i] = x;
    
    fft(A,MAXP,false); fft(B,MAXP,false);
    for(i=0;i<MAXP;i++) C[i] = A[i]*B[i];
    fft(C,MAXP,true);
    
    for(i=0;i<=n+m;i++) printf("%.0f%c",C[i].real(),"
 "[i<n+m]);
    return 0;
}

每个点大约要跑 150ms，感觉常数略大...代码里使用了 STL 自带的 complex，据说速度比较慢，不过我后来自己定义了一个 complex，并没有发现速度快多少，也许有什么更加科学的实现方式吧...