逆波兰表达式

逆波兰表达式又叫做后缀表达式。在通常的表达式中，二元运算符总是置于与之相关的两个运算对象之间，这种表示法也称为中缀表示。波兰逻辑学家J.Lukasiewicz于1929年提出了另一种表示表达式的方法，按此方法，每一运算符都置于其运算对象之后，故称为后缀表示。

表达式：逆波兰表达式，它的语法规定，表达式必须以逆波兰表达式的方式给出。逆波兰表达式又叫做后缀表达式。这个知识点在数据结构和编译原理这两门课程中都有介绍，下面是一些例子：

正常的表达式     　　　　　　　　　　--->     　　　　　　 逆波兰表达式

a+b 　　　　　 　　　　　　　　　　---> 　　　　　　      a,b,+

a+(b-c) 　　　　　　　　　　　　　  ---> 　　　　　　　　a,b,c,-,+

a+(b-c)*d　　　　　　　　　　 　　 ---> 　　　　　　　　a,b,c,-,d,*,+

a+d*(b-c)　　　　　　　　　　　　  --->　　　　　　　　 a,d,b,c,-,*,+

a=1+3 　　　　　　　　　　　　      --->   　　　　　　   a=1,3 +

http=(smtp+http+telnet)/1024　   --->　　　　　　　　http=smtp,http,+,telnet,+,1024,/

 

用途：逆波兰表达式是一种十分有用的表达式，它将复杂表达式转换为可以依靠简单的操作得到计算结果的表达式。

例如(a+b)*(c+d)转换为ab+cd+*

 

优势：它的优势在于只用两种简单操作，入栈和出栈就可以搞定任何普通表达式的运算。其运算方式如下：

如果当前字符为变量或者为数字，则压栈，如果是运算符，则将栈顶两个元素弹出作相应运算，结果再入栈，最后当表达式扫描完后，栈里的就是结果。

一般算法：

将一个普通的中序表达式转换为逆波兰表达式的一般算法是：

(1)首先构造一个运算符栈，此运算符在栈内遵循越往栈顶优先级越高的原则。

(2)读入一个用中缀表示的简单算数表达式，为方便起见,设该简单算术表达式的右端多加上了优先级最低的特殊符号“#”。

(3)从左至右扫描该算术表达式，从第一个字符开始判断，如果该字符是数字，则分析到该数字串的结束并将该数字串直接输出。

(4)如果不是数字，该字符则是运算符，此时需比较优先关系。

做法如下：将该字符与运算符栈顶的运算符的优先关系相比较。如果，该字符优先关系高于此运算符栈顶的运算符，则将该运算符入栈。倘若不是的话，则将栈顶的运算符从栈中弹出，直到栈顶运算符的优先级低于当前运算符，将该字符入栈。

(5)重复上述操作(3)-(4)直至扫描整个算数表达式，确定所有字符都得到正确处理，我们便可以将中缀式表示的简单算术表达式转化为逆波兰表示的简单算术表达式。

 

算法流程：

下面是程序化算法流程：

1、建立运算符栈stackOperator用于运算符的存储，压入''。

2、预处理表达式，正、负号前加0(如果一个加号（减号）出现在最前面或左括号后面，则该加号（减号）为正负号) 。

3、顺序扫描表达式，如果当前字符是数字(优先级为0的符号), 则直接输出该数字；如果当前字符为运算符或括号（优先级不为0的符号），则判断第4点 。

4、若当前运算符为'('，直接入栈；

若为')'，出栈并顺序输出运算符直到遇到第一个'('，遇到的第一个'('出栈但不输出；

若为四则运算符，比较栈顶元素与当前元素的优先级：

如果 栈顶元素运算符优先级 >= 当前元素的优先级，出栈并顺序输出运算符直到 栈顶元素优先级 < 当前元素优先级，然后当前元素入栈；

如果 栈顶元素 < 当前元素，直接入栈。

5、重复第3点直到表达式扫描完毕。

6、顺序出栈并输出运算符直到栈顶元素为''。

 

优先级：

优先级分为栈内优先级isp(In stack priority)和栈外优先级icp(In coming priority)。除了括号以外，其他运算符进栈后优先级都升1，这样可以体现在中缀表达式中相同优先级的操作符自左向右计算的要求，让位于栈顶的操作符先退栈并输出。

 

below摘自：http://blog.csdn.net/geniusluzh/article/details/8192780

     将一个中序表达式转化成为逆波兰表达式的方法其实很简单，也是一个成型的算法。通过逆波兰表达式求一个计算式子的值，也是很简单的，只要遇到过会用就行了。

1、将一个中序表达式转化成为逆波兰表达式。

       首先维护的是两个栈，我们这里暂且称为S1和S2，S1中的结果最后存的就是逆波兰表达式，S2中将用于暂时存放运算符并且在最终形成逆波兰表达式的时候，该栈是会清空的。下面我们看看怎样具体的形成逆波兰表达式。

       在此首先定义一下运算符的优先级关系，从小到达排序，相同优先级没有用逗号隔开：（，+-，*，负号，）。

　　  从左至右遍历一个给定的中序表达式，也就是我们常规的数学计算的表达式。

（1）如果遇到的是数字，我们直接加入到栈S1中；

（2）如果遇到的是左括号，则直接将该左括号加入到栈S2中；

（3）如果遇到的是右括号，那么将栈S2中的运算符一次出栈加入到栈S1中，直到遇到左括号，但是该左括号出栈S2并不加入到栈S1中；

（4）如果遇到的是运算符，包括单目运算符和双目运算符，我们按照下面的规则进行操作：

          （1）如果此时栈S2为空，则直接将运算符加入到栈S2中；

          （2）如果此时栈S2不为空，当前遍历的运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级，那么直接入栈S2；

          （3）如果此时栈S2不为空，当前遍历的运算符的优先级小于栈顶运算符的优先级，则将栈顶运算符一直出栈加入到栈S1中，直到栈为空或者遇到一个运算符的优先级小于等于当前遍历的运算符的优先级，此时将该运算符加入到栈S2中；

（5）直到遍历完整个中序表达式之后，栈S2中仍然存在运算符，那么将这些运算符依次出栈加入到栈S1中，直到栈为空。

       按照上面的五条操作反复进行完成，那么栈S1中存放的就是逆波兰表达式。

2、利用逆波兰表达式求值

       利用逆波兰表达式求计算式的值其实很简单，正式因为这一点，所以逆波兰表达式才在编译原理中被用于计算一个表达式的值。

       下面来具体看看如何求一个逆波兰表达式的值：

       我们此时维护一个数据结果栈S3，我们将会看到该栈中最后存放的是最终的表达式的值。我们从左至右的遍历栈S1，然后按照下面的规则进行操作栈S3.

（1）如果遇到的是数字，那么直接将数字压入到S3中；

（2）如果遇到的是单目运算符，那么取S3栈顶的一个元素进行单目运算之后，将结果再次压入到栈S3中；

（3）如果遇到的是双目运算符，那么取S3栈顶的两个元素进行，首先出栈的在左，后出栈的在右进行双目运算符的计算，将结果再次压入到S3中。

       按照上面的三个规则，遍历完整个栈S1，那么最后S3中的值就是逆波兰表达式的值了，所以我们可以看出来使用逆波兰表达式进行求值是很简单的，只有两种操作要么是直接压栈，要么是运算之后将结果压栈。

       至此关于如何将一个中序表达式转化成为逆波兰表达式以及如何将一个逆波兰表达式进行求值，都已经讲清楚了。不知道上面的描述中有没有什么没有讲清楚或者由于口误而没有描述正确的，请明眼的读者帮忙指正，先再次感谢了！