太阳神拉很喜欢最小公倍数，有一天他想到了一个关于最小公倍数的题目
求满足如下条件的数对(a,b)对数：
a,b 均为正整数且 a,b<=n 而lcm(a,b)>n
其中的 lcm 当然表示最小公倍数
答案对 1,000,000,007取模
数据范围是1e10的，打表找了半天规律发现没用……
那就莫比乌斯反演呗
题目求：
[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[lcm(i,j)> n]
]
但是大于的太多了，那我们就反过来求，最后用总的来减
也就是求：
[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[lcm(i,j)leq n]
]
先把(lcm)拆开
[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[dfrac{i·j}{gcd(i,j)}leq n]
]
看到(gcd)，枚举 (i,j) 的约数 (d)
[sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[dfrac{i·j}{d}leq n]
]
拉出去反演：
[sum_{d=1}^{n}sum_{i'=1}^{lfloor{frac{n}{d}}
floor}sum_{j'=1}^{lfloor{frac{n}{i'·d}}
floor}[gcd(i',j')=1]
]
引入莫比乌斯函数：
[sum_{d=1}^{n}sum_{i'=1}^{lfloor{frac{n}{d}}
floor}sum_{j'=1}^{lfloor{frac{n}{i'·d}}
floor}mu(gcd(i',j'))
]
再枚举 (i',j') 的约数 (d')，继续反演
[sum_{d=1}^{n}sum_{d'=1}^{sqrt{frac{n}{d}}}mu(d')sum_{i''=1}sum_{j''=1}lfloor{frac{n}{d·d'^2i''}}
floor
]
把(d')拿出来：
[sum_{d'=1}^{sqrt{n}}mu(d')[d·i''·j''leq frac{n}{d'^2} ext{的组数}]
]
然后就是求满足(d·i''·j''leq frac{n}{d'^2})的三元组(d,i'',j'')的个数
这个可以(Theta(n^{frac{2}{3}}))算出来
就可以了
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
#define M 100000
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n,ans,siz,sum,maxn,x;
ll mu[N],prime[N],primenum;
bool isprime[N];
template<class T>inline void read(T &res)
{
char c;T flag=1;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
}
void init()
{
mu[1]=1;
for(register int i=2;i<=M;++i)
{
if(!isprime[i])
{
prime[++primenum]=i;
mu[i]=-1;
}
for(register int j=1;j<=primenum;++j)
{
if(i*prime[j]>M) break;
isprime[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j]))
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
int main()
{
freopen("ra.in","r",stdin);
freopen("ra.out","w",stdout);
read(n);
init();
siz=(ll)(sqrt(n)+0.5);
for(register ll i=1;i<=siz;++i)
{
sum=0;
maxn=n/i/i;
for(register ll j=1;j*j*j<=maxn;++j)
{
for(register ll k=j;k*k<=maxn/j;++k)
{
x=(maxn/j/k-k+1);
if(j==k) sum=(sum+1+(x-1)*3)%mod;
else sum=(sum+3+(x-1)*6)%mod;
}
}
sum%=mod;
ans=(ans+mu[i]*sum)%mod;
}
ans=((n%mod)*(n%mod)-ans)%mod;
while(ans<0) ans+=mod;
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
/*
10000000000
210705255
*/