• Leetcode 78


    1 题目

    https://leetcode-cn.com/problems/subsets/

    2 题意

    给定一组不含重复元素的整数数组 nums,返回该数组所有可能的子集(幂集)。

    说明:解集不能包含重复的子集。

    示例:

    输入: nums = [1,2,3]
    输出:
    [
      [3],
      [1],
      [2],
      [1,2,3],
      [1,3],
      [2,3],
      [1,2],
      []
    ]
    

    3 解题思路

    author's blog == http://www.cnblogs.com/toulanboy/

    (1)子集的概念

    子集,简单来说,就是将原集合的一部分元素抽出来形成的新集合。子集包含的元素个数可以是0~n

    n: 原集合的长度

    (2)如何看待子集的形成

    由于子集是原集合的一部分元素,那么对于每一个原集合的元素,都有可能被抽出或者不被抽出。
    所以,我们可以给每一个原集合的元素用一个bit来标记其是否被抽出到新集合。

    • 0代表没被抽出(没被选中)
    • 1代表被抽出(被选中)

    那么,若原集合有n个元素,由于每个元素都有选或不选两种可能,所以从排列组合的角度出发,原集合有2^n个子集。

    (3)举例学习

    那么对于题目的样例{1, 2, 3}

    从排列组合的角度来看,其一共有3个元素,每个元素都有选或不选的可能性,故共有2^3,即8个子集。

    其子集和二进制的关系如下表

    子集 二进制(为方便理解,部分有注释) 十进制
    [] 000(3个都不选) 0
    [3] 001(只选第3个) 1
    [2] 010(只选第2个) 2
    [2, 3] 011(选第2、第3) 3
    [1] 100 4
    [1, 3] 101 5
    [1, 2] 110 6
    [1, 2, 3] 111 7

    通过分析这个例子,我们可以发现一个特性:

    枚举子集的过程,实际上枚举二进制从000加到111的过程,也就是从0加到7的过程。

    该特性也可以从组合数学的角度出发分析:子集的每个元素都是选或不选,所以若原集合有n个元素,那么n个bit组成的二进制产生的所有情况都会被枚举到。换算成十进制的角度,就是枚举了0到2^n的过程。

    (4)重要结论

    • 子集的枚举(以原集合只有3个元素为例子),实际上是枚举每一个元素的选或不选,等同于枚举3个bit组成的二进制的所有情况。而这个所有情况,可以通过枚举从000加到111实现。
    • 000加到111的过程,可以是简单的二进制的加法。也可以是换算成10进制进行加法。

    官方题解是基于十进制加法实现的,我的代码是基于二进制加法实现的,好处是二进制加法可以处理元素个数大于64的情况。

    (5)知识补充

    这里主要是谈谈二进制的加法。

    最直接是方式是 从个位开始加,然后不断进位,但是每次加法都需要遍历整个数组。

    但实际上,通过观察二进制的加法过程,有一个更好的方法:

    具体方案:对于一个二进制,当需要进行加1时,只需从右往左找到第1个0,将这个0变为1,将这个0后面的1变为0。

    4 代码实现

    //author's blog == http://www.cnblogs.com/toulanboy/
    class Solution {
    public:
      //add_one() : 对二进制进行加1
      //对于一个二进制,当需要进行加1时,只需从右往左找到第1个0,将这个0变为1,将这个0后面的1变为0。
        void add_one(int * binary, int n){
            for(int i=n-1; i>=0; i--){
                if(binary[i] == 0){
                    binary[i] = 1;
                    break;
                }
                else{
                    binary[i] = 0;
                }
            }
        }
        vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
            int n = nums.size();
            //创建长度为nums.size(),用来表示原集合的n个元素的选择情况。(思路中涉及到的二进制数组)
            int binary[n];
            memset(binary, 0, sizeof(binary));
            
            int times = pow(2, n);
            vector<vector<int>> ans;//存储所有子集
            vector<int> sub_set; //存储一个子集
            while(times--){//一共有2^n个子集
                sub_set.clear();
                for(int i=0; i<n; ++i){//枚举选择情况
                    if(binary[i] == 1){
                        sub_set.push_back(nums[i]);
                    }
                }
                ans.push_back(sub_set);
                //让二进制从0000累加到1111
                //十进制的角度:从0加到2^n-1
                add_one(binary, n);//二进制加1
            }
            return ans;
        }
    };
    
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