[问题2015S12] 设 (A) 为 (n) 阶实矩阵, 若对任意的非零 (n) 维实列向量 (alpha), 总有 (alpha'Aalpha>0), 则称 (A) 为亚正定阵. 显然, 如果 (A) 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 (A) 就是正定阵. 以下设 (A,B) 都是 (n) 阶亚正定阵, (c) 是正实数, 求证:
(1) (A) 是亚正定阵的充要条件是 (A+A') 是正定阵;
(2) (A) 的特征值的实部都大于零, 特别的, (|A|>0);
(3) (A+B), (cA), (A'), (A^{-1}), (A^*) 都是亚正定阵;
(4) 若 (C) 是 (n) 阶非异实矩阵, 则 (C'AC) 是亚正定阵;
(5) 若 (B) 是对称阵且 (A-B) 是亚正定阵, 则 (B^{-1}-A^{-1}) 也是亚正定阵.
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