[问题2014A07] 解答
我们分三步进行证明.
(1^circ) 先证 (alpha_1,alpha_2) 线性无关. 用反证法, 设 (alpha_1,alpha_2) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 (alpha_1 eq 0), 故 (alpha_2) 可表示为 (alpha_1) 的线性组合, 即存在 (kinmathbb{Q}), 使得 (alpha_2=kalpha_1). 带入题中条件可得 [alpha_3=k^2alpha_1,\,\,alpha_4=k^3alpha_1,\,\,Aalpha_4=k^4alpha_1,] 从而有 [(k^4+k^3+k^2+k+1)alpha_1=0.] 因为 (alpha_1 eq 0), 故 (k) 满足方程 [k^4+k^3+k^2+k+1=0,] 这与 (k) 为有理数相矛盾.
(2^circ) 再证 (alpha_1,alpha_2,alpha_3) 线性无关. 用反证法, 设 (alpha_1,alpha_2,alpha_3) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 (alpha_1,alpha_2) 线性无关, 故 (alpha_3) 可表示为 (alpha_1,alpha_2) 的线性组合, 即存在 (k,linmathbb{Q}), 使得 (alpha_3=kalpha_1+lalpha_2). 带入题中条件可得 [alpha_4=Aalpha_3=klalpha_1+(k+l)alpha_2,] egin{eqnarray*}Aalpha_4&=&klAalpha_1+(k+l)Aalpha_2=k(k+l)alpha_1+(kl+l(k+l))alpha_2 \ &=& -alpha_1-alpha_2-alpha_3-alpha_4=(-1-k-kl)alpha_1+(-1-l-k-l)alpha_2. end{eqnarray*} 由 (alpha_1,alpha_2) 线性无关可得 [k(k+l)=-1-k-kl,\,\,kl+l(k+l)=-1-l-k-l.] 经过化简知 (k) 满足方程 [3k^4+2k^3+k^2+2k-1=0,] 但由复旦高代教材第 236 页定理 5.7.2 知上述方程没有有理根, 这与 (k) 为有理数相矛盾.
(3^circ) 最后证明 (alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4) 线性无关. 用反证法, 设 (alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 (alpha_1,alpha_2,alpha_3) 线性无关, 故 (alpha_4) 可表示为 (alpha_1,alpha_2,alpha_3) 的线性组合, 即存在 (k,l,rinmathbb{Q}), 使得 (alpha_4=kalpha_1+lalpha_2+ralpha_3). 带入题中条件可得 egin{eqnarray*}Aalpha_4&=&kAalpha_1+lAalpha_2+rAalpha_3=kralpha_1+(k+lr)alpha_2+(l+r^2)alpha_3 \ &=& -alpha_1-alpha_2-alpha_3-alpha_4=(-1-k)alpha_1+(-1-l)alpha_2+(-1-r)alpha_3. end{eqnarray*} 由 (alpha_1,alpha_2,alpha_3) 线性无关可得 [kr=-1-k,\,\,k+lr=-1-l,\,\,l+r^2=-1-r.] 经过化简知 (k) 满足方程 [k^4+k^3+k^2+k+1=0,] 这与 (k) 为有理数相矛盾.
综上所述, (alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4) 是 (mathbb{Q}^4) 的一组基. (Box)
注 一般的, 我们还可以证明如下推广. 显然, 此时若按上述方法证明将不再可行. 在学了高代 II 中的 Cayley-Hamilton 定理之后, 我们将给出一个相当简洁的证明.
推广 设 (A) 是有理数域 (mathbb{Q}) 上的 (p-1) 阶方阵 (其中 (p) 为素数), (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_{p-1}) 是 (mathbb{Q}) 上的 (p-1) 维列向量, 满足: [ Aalpha_1=alpha_2,\,\,Aalpha_2=alpha_3,\,\,cdots,\,\,Aalpha_{p-1}=-alpha_1-alpha_2-cdots-alpha_{p-1}.] 证明: 若 (alpha_1 eq 0), 则 ({alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_{p-1}}) 是有理数域 (mathbb{Q}) 上的 (p-1) 维列向量空间 (mathbb{Q}^{p-1}) 的一组基.