[问题2014S10] 设 (A,B) 为 (n) 阶方阵, 证明: (AB) 与 (BA) 相似的充分必要条件是 [mathrm{rank}ig((AB)^iig)=mathrm{rank}ig((BA)^iig),\, i=1,2,cdots,n-1.]
注 (1) 本题是复旦高代教材 P172 习题 6 的推广, 即若 (A,B) 中有一个是非异阵, 则 (AB) 与 (BA) 相似.
(2) 设 [A=egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix},\, B=egin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix},] 则 (AB=B) 不相似于 (BA=0), 这是因为 (mathrm{rank}(AB)=1 eq 0=mathrm{rank}(BA)).